Efecto del cambio de MC en los beneficios máximos de los monopolistas

Question

Supongamos que un monopolista tiene MC = c constante, sin costes fijos. Si $p(c)$ y $q(c)$ son el precio y la producción que maximizan el beneficio en función del MC y el programa de demanda del mercado viene dado por $q = D(p)$ ¿cómo varía el beneficio de los monopolistas con un pequeño cambio en el MC? Esto es lo que tengo hasta ahora:

El beneficio máximo viene dado por:

$$ = p(c)q(c) - cq(c) $$

Diferenciación con respecto al c:

$$ \frac{d(c)}{dc} = q(c)[p'(c) - 1] + q'(c)[p(c) - c] $$

El primer término $q(c)[p'(c) - 1]$ es claramente positivo porque $q(c) > 0$ y para un monopolista $[p'(c) - 1]$ también es positivo porque:

$$ p(c) = \frac{c}{1+\frac{1}{}} $$

$$ p'(c) = \frac{1}{1+\frac{1}{}} $$

y para que haya un nivel de producción que maximice los beneficios, $ < -1$

$$ p'(c) = \frac{1}{1+\frac{1}{}}> 1 $$

Para el segundo término, $q'(c)$ es claramente negativo, ya que un mayor MC conduce a un mayor precio y, por tanto, a una menor cantidad. $[p(c) - c] > 0$ ya que para un monopolista $p > MC = c$ .

En este momento, el efecto sobre los beneficios de un aumento del CM es ambiguo, ya que ambos términos tienen efectos opuestos (uno es positivo, el otro es negativo) y la forma en que cambian los beneficios depende de la magnitud de los dos términos. ¿Cómo podemos cuantificar los efectos o al menos conocer las magnitudes relativas de ambos términos para saber cómo cambiarán los beneficios ante un aumento del CM?

Answer 1

Si el MC aumenta, los beneficios tienen que bajar. Dejemos que $\pi (q(c))$ y $\pi' (q(c'))$ denotan los beneficios antes y después del aumento de los costes. Obsérvese que la producción de $q(c')$ era factible cuando el coste marginal era bajo y, por lo tanto, debe ser el caso que

$$ \pi (q(c))=[p(q(c))-c]q(c)\geq[p(q(c'))-c]q(c').$$

Además, tenemos que

$$[p(q(c'))-c]q(c')>[p(q(c'))-c']q(c')=\pi' (q(c')),$$

que nos da $\pi (q(c))>\pi' (q(c')).$