Aclaración del lema de Ito

Question

Estuve mirando los distintos ejemplos que se dieron en la discusión Ejemplos prácticos de aplicación del lema de Ito

Uno de estos ejemplos es el 9.1 (c). En él se establece que

si $S_t =\! S_0 + \int\limits_{0}^{t} \mu_u S_u du + \int\limits_{0}^{t} \sigma_u S_u dW_u$ con $\mu=\left(\mu_t \right)_{t\geq0}, \sigma=\left(\sigma_t \right)_{t\geq0}, \int\limits_{0}^{T} |\mu_s| + |\sigma_s|^2 ds < \infty$ . Entonces $\int\limits_{0}^{T} \sigma^2_s ds = -2\log \frac{S_T}{S_0} + \int\limits_{0}^{T} \frac{2}{S_u} dS_u$

Luego dice $\frac{S_T}{S_0} = e^{\int\limits_{0}^{T} \sigma_s dW_s - \int\limits_{0}^{T} \left(0.5\sigma_s^2 - \mu_s \right) ds}$ que entiendo la derivación.

Entonces no entendí la parte restante que muestra que : $\log S_T - \log S_0 = \int\limits_{0}^{T} \frac{1}{S_u} dS_u -0.5 \int\limits_{0}^{T} \sigma_u^2 du$

El segundo ejemplo va por 4. Esto establece que

si $X_t =\! e^{W_t+0.5t} + e^{W_t-0.5t}$ entonces $dX_t =\! X_t dW_t + e^{W_t+0.5t}dt$ .

Para demostrarlo, se considera que $X_t=Z_tY_t, Z_t = e^{W_t-0.5t}, Y_t = e^t + 1$ . Afirma que el proceso $Z_t$ es semimartingala continua y $Y_t$ es un semimartingale continuo de variación acotada. Por tanto, se cumple que $\left[ ZY \right]=0$ . Mis preguntas son

1. Por qué $Z$ es semimartingala continua y $Y$ es continua semimartingale con variación acotada? ¿Qué se necesita para demostrarlo?
2. Cómo mostrar exactamente eso $\left[ZY\right] = 0$

Su indicación será de gran ayuda

Answer 1

Para el primero tenemos:

$$ dS_t = \mu_t S_t dt + \sigma_tS_t dW_t $$ y nota que

$$ (dS_t)^2 = \sigma_t ^2 S_t^{2} dt. $$

Aplicamos la fórmula de Ito a

$$ f(S_t) = \ln S_t. $$

Como $f'(x) = x^{-1}$ y $f^{''}(x)= -x^{-2}$ obtenemos:

$$ d \ln S_t = S_t^{-1} dS_t - 0.5 S_t^{-2} (dS_t)^2 $$

lo que equivale a

$$ d \ln S_t = S_t^{-1} dS_t - 0.5 \sigma_t^2 dt. $$

Integración de $0$ a $T$ da:

$$ \ln S_T - \ln S_0 = \int_0^T S_t^{-1} dS_t - 0.5 \int_0^T \sigma_t^2 dt. $$

Para el segundo :

Un proceso tiene variación acotada si casi todas sus trayectorias son funciones con acotado variación .

Esto debe probarse para $Y_t$ .

Para el resto de las preguntas, puedes tomar como hechos (probados en muchos libros de cálculo estocástico) que:

1. Los procesos de Ito son semimartingales continuos (con las dos piezas, martingala local continua y proceso de variación finita continua, visibles).

2. Procesos de variación finita (variación acotada en cada intervalo de tiempo finito, con probabilidad $1$ ) tienen $0$ variación cuadrática.

3. El covariación cuadrática entre un proceso de variación finita y un semimartingale continuo es $0$ .