Maximización de la utilidad en un escenario de 2 bienes con la opción de comprar una combinación de ambos

Question

Estoy resolviendo la siguiente pregunta:

Supongamos que vivimos en un mundo de dos bienes, libros (x) y películas (y), con una función de utilidad dada por $u(x,y)=min(x+2y,2x+y)$ . Los precios de los libros y las películas son 25 y 10 respectivamente. Los ingresos son 1000. Considera los dos planes siguientes:

1. La persona recibe una película gratis por cada libro que compra.
2. Además de comprar los libros y las películas por separado, también tienes la opción de comprar un paquete combinado de libro y cuatro películas por sólo 50 €.

Q1. ¿Cuál es el consumo óptimo en el esquema 1?

A. (40,40) B. (0,100) C. (10,75) D. Ninguna de las anteriores

Q2. ¿Cuál es el consumo óptimo en el esquema 2? A. (0,100) B. (10,75) C. (10,80) D. Ninguna de las anteriores

Mi trabajo:

Para la primera parte he pensado lo siguiente: Si compro $x$ libros, sólo tengo que pagar por $y-x$ películas, por lo que mi restricción presupuestaria será así:

$$25x + 10(y-x) = 1000$$ $$\implies 15x + 10y = 1000$$

Resolviendo ahora esta restricción presupuestaria con la función de utilidad dada, obtengo el consumo óptimo como $(40,40)$ .

En la siguiente parte, aplico la misma lógica que la anterior. Si compro $z$ unidades del combo por 50, sólo tengo que pagar por $x-z$ libros y $y-4z$ películas. Así que, por lo tanto, mi restricción presupuestaria se verá así:

$$25(x-z) + 10(y-4z) + 50z = 1000$$ $$\implies 25x + 10y - 15z = 1000$$

Mi pregunta es doble:

1. ¿Es correcto mi razonamiento en los dos casos anteriores?

2. ¿Cómo resuelvo el consumo óptimo en el segundo esquema, donde tengo la opción de comprar un combo?

Gracias.

Answer 1

Su respuesta a la P1 es correcta.

Para la Q2, un poco de intuición gráfica ayudaría.

Supongamos que gastas todos tus ingresos en el combo, serías capaz de comprar $80$ películas y $20$ libros. Este es el punto $(20,80)$ en el $(x,y)$ -Avión.

Si compra $1$ menos combo, tendrás $76$ películas, $19$ libros, y $\$ 50$ efectivo. Gastar todo el $\$ 50$ en las películas te movería a $(19,81)$ ; gastar todo el dinero en libros te llevaría a $(21,76)$ . (Por supuesto, se puede dividir el efectivo entre los dos bienes, pero es fácil ver en un gráfico que tal división no es eficiente).

Por tanto, cambiar un combo por películas implica un precio relativo de 1 libro por 1 película, y cambiar un combo por libros implica un precio relativo de 4 películas por 1 libro. Utilizando la información, podemos trazar la restricción presupuestaria como se indica a continuación:

El segmento verde, dado por $y=100-x$ ( $x\in[0,20]$ ), representa la compensación entre los dos bienes que implica el cambio de combos a películas. El segmento rojo, dado por $y=160-4x$ ( $x\in[20,40]$ ), representa la compensación que supone pasar de los combos a los libros. Del gráfico se desprende que ninguna otra forma de utilizar los ingresos es más eficiente. (Como referencia, la línea presupuestaria sin el combo se traza con la línea negra discontinua).

Dada esta restricción presupuestaria, debería ser sencillo resolver el paquete de consumo óptimo.