Podemos obtener el resultado de que los conjuntos de indiferencia son no es decir, que los paquetes de consumo que son equivalentes bajo la relación de preferencia debe existen, utilizando un conjunto de consumo $X$ definido sobre $\mathbb R_+^n$ es decir, más de real vectores, junto con la propiedad de Continuidad de las preferencias (aunque pueden existir prerrequisitos alternativos más débiles).
Una forma equivalente de enunciar la propiedad de Continuidad de las preferencias (véase, por ejemplo, Mas-Collel et al, cap. 3.C), es que $\forall x \in X$ el conjunto del contorno superior $UCS$ y el conjunto de contornos inferiores $LCS$ son ambos cerrado es decir, incluyen sus límites. Los conjuntos de contorno son conjuntos que incluyen paquetes de consumos "al menos tan preferidos como $x$ " (superior) y "como máximo tan preferido como $x$ " (inferior). Para que "incluyan" su límite", debe existir un límite en primer lugar . Pero su límite es el Conjunto de Indiferencia, el conjunto que contiene todos los paquetes tan preferidos como $x$ .
Así que su pregunta se reduce esencialmente a ¿Es posible que el límite de los conjuntos de contorno superior o inferior de $x$ ¿conjuntos que se definen sobre vectores reales, es un solo punto?
Creo que imaginando esto en dos dimensiones se verá que es imposible, pero vamos a probarlo.
Ad absurdum Supongamos que esto se cumple para algunos $x \in X$ . Entonces para cualquier otro paquete de consumo en $X$ , digamos que $x'$ Tendremos $x'>_{pr} x$ o $x'<_{pr} x$ . En otras palabras, cualquier otro punto de $X$ pertenecerá o bien a $UCS_x$ o en $LCS_x$ , pero no en ambos .
Así que considere dos puntos de este tipo , $x''>_{pr}x>_{pr}x'$ . Supongamos que $x'=\{\mathbf y_{(n-1)}, y_n\}$ , $x''=\{\mathbf y_{(n-1)}, y_n+\epsilon(k)\}$ es decir, que sólo difieren en uno de los bienes del Espacio de los Bienes, $\epsilon(k)>0$ .
Transforme ahora estos dos puntos en dos secuencias de puntos, $\{x''_k\}$ y $\{x'_k\}$ , indexado por $k= 1,...$ y construyendo la secuencia $\{\epsilon_k\}$ tal que $\{\epsilon_k\} >0\; \forall k$ pero también $\lim_{k\rightarrow \infty} \epsilon_k = 0$ . El espacio de consumo definido permite estas construcciones. Por supuesto, observamos que $\{x'_k\}$ es una secuencia constante ya que su valor no cambia como $k$ cambios, pero eso es perfectamente legal.
Consideremos ahora la secuencia de pares, para cada $k$ , $\{(x''_k, x'_k)\}_{k=1}^{\infty}$ y sostiene que
$$ x''_k >_{pr} x'_k\;\;\;\forall k \tag{1}$$ $$\lim_{k\rightarrow \infty} x''_k = x'$$ $$\lim_{k\rightarrow \infty} x'_k = x'$$
Bajo la continuidad de las preferencias deberíamos obtener $$ (1) \implies \lim_{k\rightarrow \infty} x'' >_{pr} \lim_{k\rightarrow \infty} x'$$ pero obviamente esto no es posible ya que estos límites son idénticos. Por lo tanto, suponiendo que existe un $x$ en el Conjunto de Consumo al que ningún otro paquete es equivalente en términos de la relación de preferencia, hemos violado la propiedad de Continuidad.
Alternativamente, dado que los haces están definidos sobre vectores reales, y ambos $UCS$ y $LCS$ son cerradas debido a la propiedad de Continuidad, entonces toda secuencia de Cauchy en cada una de ellas que converge tiene su límite en de ellos. Así que la secuencia $\{x''_k\}$ tiene su límite en $UCS_x$ mientras que la secuencia $\{x'_k\}$ debe tener su límite en $LCS_x$ . Pero este límite es el mismo que el mostrado anteriormente, e igual a $x'$ . Pero el único punto común de estos dos conjuntos es $x$ . Así que debe ser el caso que $x'=x$ . Pero esto no se puede sostener ya que hemos empezado por suponer $x>_{pr} x'$ .
Un ejemplo en el que los conjuntos de indiferencia son singletons es el caso de Preferencias lexicográficas . Y las Preferencias Lexicográficas no son continuas.
