Indiferencia entre 2 activos de riesgo

Question

Consideremos el problema de un individuo que debe elegir qué parte de su riqueza inicial w0 > 0 para asignar a un activo de riesgo X. El activo de riesgo X tiene n 2 posibles tasas de rendimiento a saber, r1, . . . , rn, y P rob(r = ri) = pi > 0 para todo i {1, . . . , n}. La función de utilidad del individuo del individuo sobre la riqueza u es creciente, estrictamente cóncava y diferenciable en todas partes. Supongamos ahora que existe un segundo activo de riesgo independiente Y que tiene las mismas tasas de rendimiento posibles y con las mismas probabilidades que X.. ¿Es la existencia de Y beneficiosa para el individuo?

Cuando leí por primera vez la pregunta, pensé que si ambos tienen exactamente la misma probabilidad y valor de retorno, no debería ser una ventaja para nosotros. Pero al mismo tiempo, me pregunto si hay alguna otra situación que se me escapa y que podría aprovechar esta situación. Me pregunto sus comentarios.

Answer 1

Se puede demostrar que, bajo el supuesto de concavidad estricta de la función de utilidad, el inversor elegirá dividir su riqueza por igual en los dos activos. Esto sucede porque la varianza de los rendimientos disminuye al invertir en dos activos (suponiendo que los rendimientos de dos activos son independientes) .

Podemos considerar dos escenarios: primero cuando el individuo invierte sólo en $X$ y la segunda en la que reparte su inversión entre $X$ y $Y$ . Se puede demostrar que en el segundo caso la varianza de la rentabilidad disminuye.

Dejemos que $r \equiv E(R_x) = E(R_y)$ y $\sigma^2 = Var(R_x) = Var(R_y)$

Supongamos que en el segundo caso, invierte $\alpha$ fracción de la riqueza en $X$ y $(1-\alpha) $ fracción en el activo $Y$ . Claramente $E(R) = r$ . Sin embargo:

\begin {align} Var(R) &= Var( \alpha R_x + (1- \alpha )R_y) \\ &= ( \alpha ^2+(1- \alpha ^2)) \sigma ^2 \tag {desde la independencia} \\ &=(2 \alpha ^2+1-2 \alpha ) \sigma ^2 \end {align}

El inversor elegirá $\alpha$ para minimizar el término entre llaves que ocurre en $\alpha=0.5$ y así $Var(R) = \sigma^2/2$

Ahora bien, es un resultado bien conocido que una cartera con los individuos con aversión al riesgo (utilidad cóncava) prefieren menos el diferencial que preserva la media . Por lo tanto, la persona elegirá dividir su riqueza a partes iguales entre los dos activos.