¿Por qué es un juego de suma cero?

Question

El juego se describe de la siguiente manera :

En una versión simplificada del juego de la Morra, cada uno de los jugadores muestra un dedo o dos dedos, y simultáneamente adivina cuántos dedos mostrará el otro jugador. Si ambos jugadores adivinan correctamente, o ambos jugadores adivinan incorrectamente, no hay recompensa. Si sólo uno de los jugadores adivina correctamente, ese jugador gana un premio igual al número total de dedos mostrados por ambos jugadores.

Sé que este juego tiene que ser de suma cero pero quiero entender bien por qué es así, al fin y al cabo un jugador gana algo que teóricamente no pierde el otro en el sentido de que lo tenía antes de empezar la partida. En este caso, hay una situación en la que el jugador que "perdió" el punto podría haberlos ganado pero es sólo el caso porque el juego es simétrico, no siempre sucede.

He pensado en la siguiente abstracción para explicar lo que ocurre, digamos que los dos jugadores tenían antes de empezar la partida una cantidad de puntos tal que cubriera todos los posibles pay-off negativos para ellos, y que quien gana recibe el número de puntos igual a la suma de los dedos de los otros playes, ahora me parece que el juego es de suma cero. En caso contrario me parece que los pay-offs podrían ser representados por

$$(\text{sum of fingers in the case of first wins something }, 0 ) \text{ or } $$ $$(0, \text{sum of fingers in the case of second wins something} )$$

lo que haría que el juego no fuera de suma cero.

¿Debería ser obvio? ¿Estoy totalmente equivocado con mi razonamiento? ¿Por qué?

Answer 1

Un juego de suma cero es aquel en el que los pagos de los jugadores suman cero en todos los resultados posibles del juego.

La descripción de la remuneración dada es incompleta. Pero si asumimos que en los resultados en los que sólo un jugador adivina correctamente, el otro jugador (que adivina mal) tendría que perder una cantidad igual al número total de dedos mostrados (denotado $X$ por ejemplo, para usar la notación de @Bayesian), entonces el juego es efectivamente de suma cero:

• En los resultados en los que ambos aciertan o se equivocan, cada uno recibe $0$ que suman cero.
• En los resultados en los que sólo uno acierta, el que acierta se lleva $X$ y el que se equivoca obtiene $-X$ que también suman cero.