Intercambios de varianza y la fórmula Log-Moment

Question

Estaba mirando el documento de Raval y Jaquier La fórmula del momento logarítmico para la volatilidad implícita disponible aquí : https://arxiv.org/pdf/2101.08145.pdf

En la página 4 escribieron (con $<logS>_T$ y $<S>_t$ términos cuadráticos ) :

$<logS>_T$ = $\int_{0}^{T}\frac{1}{S_t^2}d<S>_t = -2 log(\frac{S_T}{S_0}) + 2\int_{0}^{T}\frac{1}{S_t}dS_t$

No entiendo bien el último paso de la derivación como encuentro:

$-2\frac{S_T - S_0}{S_0} + 2\int_{0}^{T}\frac{1}{S_t}dS_t$

Además, los autores definen :

$-log(\frac{S_T}{S_0}) = \frac{S_T - S_0}{S_0} + \int_{S_0}^{\infty}(\frac{S_t-K}{K^2})^+dK + \int_{0}^{S_0}(\frac{K-S_t}{K^2})^+dK$

Lo cual no he podido demostrar. Podría alguien ayudarme por favor.

Gracias

Answer 1

A partir de $$dS_t = rS_tdt +\sigma_t S_tdW_t,$$

El lema de Ito en dos pasos da:

$$d\log S_t = S_t^{-1} dS_t - 2^{-1}S_t^{-2} (dS_t)^2 \; \; \; (*)$$

$$d\log S_t = (r-2^{-1}\sigma^2_t) dt + \sigma_t dW_t \; \; \; (**)$$

De (**) (y de la SDE inicial) obtenemos

$$ d[\log S]_t = (d\log S_t)^2 = \sigma_t^2 dt = S_t^{-2} (dS_t)^2 $$

De (*) obtenemos entonces:

$$ d\log S_t = S_t^{-1} dS_t - 2^{-1} d[\log S]_t $$

Así que:

$$ d[\log S]_t = - 2 d\log S_t + 2 S_t^{-1} dS_t $$

(te falta el factor $2$ en el último término).

La segunda ecuación se centra en el $\log$ pago del contrato y es una aplicación de Lema 3.6 en el papel, lo que resulta en

$$f(S_T)=f(S_0) + f'(S_0) (S_T - S_0) + \int_0^{S_0} f''(K) (K-S_T)^+ d K $$ $$+ \int_{S_0}^{\infty} f''(K) (S_T-K)^+ d K, $$

conocido como la fórmula Carr-Madan (para cualquier convexo y suave $f$ ). Ver una prueba aquí en SE Quant. Podemos tomar $$ f(x) = \log (x), \; \; \; x = S_T, \; \; \; x_0 = S_0. $$