[Macro de posgrado]La tierra en el modelo de crecimiento económico: Función CES

Question

Soy un estudiante de grado que intenta estudiar macroeconomía de grado. He estado tratando de resolver el problema del ejercicio en el crecimiento económico de Barro.

El modelo consiste en añadir tierras en el Modelo Ramsey. El modelo es el siguiente: $$Y=A\Bigl[a(K^\alpha L^{1-\alpha})^\psi+(1-a)\Lambda^\psi\Bigr]^{1/\psi}$$

Ahora, las preguntas se refieren a la condición de $\psi$ puede garantizar que $Y/L$ es constante en el tiempo, y qué condición hará que $Y/L$ disminuyen constantemente con el tiempo.

He derivado la forma intensiva per cápita de la siguiente manera: $$y(t)=A\Bigl[a(k(t)^\alpha)^\psi+(1-a)\lambda^\psi\Bigr]^{1/\psi}$$

Sin embargo, no capto el significado de cómo los diferentes valores de $\psi$ puede afectar al resultado.

Answer 1

Supongamos que la cantidad total de tierra ( $\Lambda$ ) es fija pero la medida de población aumenta exógenamente ( $\dot{L}>0$ ).

La única manera de que el per cápita producto ( $y(t)$ ) permanece constante en el tiempo es cuando se puede sustituir totalmente el capital por la tierra. En las fórmulas, es necesario establecer $\psi=1$ para conseguirlo: $$ y(t) = A[a k(t)^\alpha + (1-a) \lambda(t)] $$ y, como se puede ver, siempre se puede compensar la disminución de la tierra per cápita ( $\lambda(t) =\frac{\Lambda}{L(t)}$ entonces $\dot{\lambda}<0$ ) con más inversión en capital.

Por otro lado, tan pronto como $\psi \neq 1$ entonces $Y/L$ disminuyen constantemente con el tiempo como consecuencia de que el crecimiento de la población, junto con la disminución de la tierra per cápita, no se sustituye totalmente por el aumento del capital.

Esta sería mi intuición, espero que ayude, seguro que se puede hacer el argumento más riguroso, sobre todo para el caso de $\psi\neq 1$ .