VG pertenece a la familia de modelos de mezcla de varianza y media . Dado un horizonte $T$ la distribución de los rendimientos logarítmicos $f$ es una mezcla de gaussianos $f_G$ con media y varianza aleatorias. La densidad de aleatorización es $g$ y su media y varianza aumentan con $T$ . Para el proceso VG este factor aleatorio es de distribución gamma .
Más concretamente, denotar con $f_G(x;\mu,\sigma^2)$ la densidad gaussiana, y con $g(s;\theta,T)$ la densidad de mezcla que tiene soporte positivo. Entonces la densidad de retorno logarítmico viene dada por $$ f(x;\mu,\sigma,\theta,T) = \int_0^\infty f_G(x;\mu s,\sigma^2 s)\ g(s;\theta,T)\ ds $$ De ello se deduce que los precios de las opciones pueden escribirse como una media ponderada de los precios Black-Scholes.
Los momentos superiores ( ver p85 ) son de la forma $$\text{skewness}=c_1/\sqrt{T}\text{, and kurtosis}=3+c_2/T$$ Por lo tanto, como $T\rightarrow 0$ ambos van al infinito, mientras que como $T\rightarrow\infty$ la distribución se convierte en gaussiana.
La presencia de momentos superiores para pequeños $T$ se manifiesta como un sesgo de las opciones a corto plazo. Sin embargo, lo pronunciado que sea este sesgo dependerá de lo que se tenga en el eje x, es decir, el precio de ejercicio, el dinero normalizado con el tiempo o la Delta.
