Cuál es el resultado de la ecuación de Bellman

Question

Estoy empezando con la optimización dinámica y aunque entiendo las pruebas del teorema no soy capaz de entender completamente si la ecuación de Bellman es una función, una función valorada en algún número (por lo tanto un número) o ambos. Estoy utilizando los métodos recursivos de Stokey Lucas y Prescot para la dinámica de la economía. Y ellos establecen en el capítulo 4.1 y 4.2 Dadas algunas suposiciones sobre el conjunto de viabilidad y la $F(x_t,x_{t+1})$ Estos problemas son equivalentes:

1) Problema secuencial (SP) $sup_{x_{t+1}}(\Sigma_{t=0}^\infty\beta^tF(x_t,x_{t+1}))$ $x_{t+1}\in\Gamma(x_{t+1})$ para todo t

2) Ecuación funcional (EF) $\ v(x)= sup_{y\in\Gamma(x)}[F(x,y)+\beta v(y)]$

Lo que no me queda claro es que: En 1 el resultado de aplicar el operador sup es un NÚMERO (Función de valor valorada en $x_0$ Mientras que en 2 como hay una ecuación funcional, el resultado es una función. Los autores parecen hablar de un número (capítulo 4.1) pero luego (en el capítulo 4.2) afirman que aplicando el teorema de los mapas de contracción a 2 se obtiene la solución que es el único punto fijo en el conjunto de la función continua acotada, por lo tanto el resultado es una función

¿Entonces la solución es un número o una función?

Gracias de antemano

Answer 1

...el resultado de aplicar el operador sup es un NÚMERO...

Léalo con atención. La ecuación es

$$ v(x_0) = \sup_{ \{x_t \}_{t \geq 1}} \cdots \quad (1) $$ Esto define una función $v$ La función de valor es un tipo de función de utilidad indirecta. Para un determinado $x = x_0$ El valor de $v(x)$ se define como el sup en el RHS, tomado sobre secuencias factibles $\{ x_t \}$ .

...hay una ecuación funcional, el resultado es una función...

Sí, la función $v(\cdot)$ definido por $(1)$ satisface la ecuación de la función (Bellman). La igualdad es en el sentido de las funciones. El LHS es $v(\cdot)$ definido por $(1)$ . El lado derecho es otra función $$ \nu(x) = \sup_{y\in\Gamma(x)}[F(x,y)+\beta v(y)]. $$ La afirmación -el principio de programación dinámica- es que son iguales, $v(\cdot) = \nu(\cdot)$ .