Información y búsqueda

Question

Consideremos un juego en el que un decisor (DM) tiene que elegir una acción $l\in \mathcal{Y}$ posiblemente sin ser plenamente consciente del estado del mundo $V$ .

El conjunto de opciones $\mathcal{Y}$ tiene cardinalidad $L$ . El estado del mundo es un $L\times 1 $ y denotamos su $l$ -ésimo elemento por $V_l$ .

El estado del mundo tiene apoyo $\mathcal{V}$ .

Cuando el DM elige la acción $l\in \mathcal{Y}$ recibe la recompensa $V_l$ . Es decir, recibe un pago igual a la $l$ -ésimo elemento del vector $V$ .

Dejemos que $P_V\in \Delta(\mathcal{V})$ sea el previo del DM.

El DM también puede procesar alguna señal (formalizada por el concepto de estructura de la información) para refinar su previa y obtener una posterior.

Definamos el concepto de Equilibrio Correlacionado Bayesiano de 1 jugador proporcionado en Bergemann y Morris (2013,2016,etc.).

$P_{Y,V}\in \Delta(\mathcal{Y}\times \mathcal{V})$ es un Equilibrio Correlacionado Bayesiano de 1 jugador si

1) $\sum_{l\in \mathcal{Y}}P_{Y,V}(l,v)=P_V(v)$ para cada $v\in \mathcal{V}$

2) $\sum_{v\in \mathcal{V}}V_l P_{Y,V}(l,v)\geq \sum_{v\in \mathcal{V}}V_k P_{Y,V}(l,v)$ para cada $l$ y $k\neq y$ .

Bergemann y Morris demuestran que el conjunto de Equilibrios Correlacionados Bayesianos es igual al conjunto de comportamientos óptimos bajo una serie de estructuras de información.

PREGUNTA: Consideremos un modelo de búsqueda, en el que diseñamos un protocolo según el cual el DM descubre información sobre el estado del mundo.

Por ejemplo, supongamos que el DM realiza una búsqueda secuencial en la que descubre el $l$ -éste es el elemento de $V$ si y sólo si la utilidad máxima asegurada hasta ese momento es inferior a un valor de reserva.

¿Puede este modelo escribirse siempre como estructura previa/información/posterior? En otras palabras, ¿el marco de Bergemann y Morris anida los modelos de búsqueda?

Answer 1

El concepto de solución del equilibrio correlacionado de Bayes se aplica a juegos , viz interacciones estratégicas, entre múltiples jugadores. Por lo tanto, en un problema de decisión unipersonal su uso me parece inapropiado o al menos superfluo. En los últimos 70 años se han dedicado muchos esfuerzos (que se remontan al menos a Blackwell 1951, 1953) a explorar la noción de información y de estructuras de información en los problemas de decisión. En esa literatura se encuentra su respuesta.

Lo que has descrito es un problema de búsqueda que parece análogo a un problema de muestreo secuencial tipo Wald.

Tal vez se refiera también a la recientemente floreciente literatura sobre la inatención racional. Allí se ha tenido cuidado de explorar las llamadas funciones de coste (de información) "separables a posteriori", que permiten escribir el coste de la información sólo como una función de los posteriores inducidos. Véase el trabajo reciente de Caplin, Dean y otros.

Answer 2

Es cierto que el BCE es más apropiado para los juegos. Ciertamente se puede utilizar para problemas de decisión de un solo agente, pero es realmente una exageración.

Además, el BCE es un concepto de solución que es agnóstico respecto a qué otra información reciben las personas, o cómo la reciben. Por lo tanto, no diré que el BCE anida los modelos de búsqueda. En todo caso, el BCE de un problema de un solo agente simplemente describe las acciones que dicho agente podría elegir después de recibir alguna información (quizás después de buscar).

En ese sentido, se puede estudiar cómo evoluciona el BCE en un modelo de búsqueda. Por ejemplo, en la mayoría de los modelos de búsqueda el agente comienza siendo lo suficientemente agnóstico como para que todas las acciones puedan ser una respuesta óptima para alguna creencia posterior, (por lo que el BCE será un conjunto relativamente grande). A medida que el agente busca y aprende más información, sus creencias suelen concentrarse en algún punto. Por ejemplo, el agente se vuelve más confiado sobre el estado del mundo y en la mayoría de los modelos de búsqueda se forma una cascada (o el agente deja de buscar). Una cascada es simplemente una situación en la que las creencias previas actuales del agente, $\underline S$ está lo suficientemente concentrado como para que el BCE sea un único individuo. Es decir, independientemente de la posible información extra que pueda obtener el agente, sólo hay una acción racionalizable.

No veo cómo utilizar las herramientas del BCE para estudiar un modelo de búsqueda podría ser útil, pero así es como conectaría esos dos tipos de literatura.