Conjunto de equilibrios correlacionados de Bayes cuando no se dispone de información completa

Question

Modelo

Consideremos un juego en el que un decisor (DM) tiene que elegir una acción $y\in \mathcal{Y}$ posiblemente sin ser plenamente consciente del estado del mundo.

El estado del mundo tiene apoyo $\mathcal{V}$ .

Cuando el DM elige la acción $y\in \mathcal{Y}$ y el estado del mundo es $v\in \mathcal{V}$ recibe la recompensa $u(y,v)$ .

Dejemos que $P_V\in \Delta(\mathcal{V})$ sea el previo del DM.

El DM también puede procesar alguna señal (formalizada por el concepto de estructura de la información) para refinar su previa y obtener una posterior.

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Pregunta

Definamos el concepto de Equilibrio Correlacionado Bayesiano de 1 jugador proporcionado en Bergemann y Morris (2013,2016,etc.).

$P_{Y,V}\in \Delta(\mathcal{Y}\times \mathcal{V})$ es un Equilibrio Correlacionado Bayesiano de 1 jugador si

1) $\sum_{y\in \mathcal{Y}}P_{Y,V}(y,v)=P_V(v)$ para cada $v\in \mathcal{V}$

2) $\sum_{v\in \mathcal{V}}u(y,v) P_{Y,V}(y,v)\geq \sum_{v\in \mathcal{V}}u(k,v) P_{Y,V}(y,v)$ para cada $y$ y $k\neq y$ .

El teorema 1 de Bergemann y Morris (2016) afirma que el conjunto de Equilibrios Correlacionados Bayesianos de 1 jugador es igual al conjunto de comportamientos óptimos bajo una gama de posibles estructuras de información (este resultado es válido de hecho para cualquier juego de n jugadores, por lo tanto también para $n=1$ como en este caso).

Dichas estructuras de información pueden ir desde la estructura de información degenerada (es decir, no hay información alguna sobre ese estado del mundo y, por tanto, el previo es igual al posterior) hasta la estructura de información completa (es decir, la revelación total del estado del mundo).

Mi pregunta es: ¿podemos caracterizar la colección de Equilibrios Correlacionados Bayesianos de 1 jugador para el modelo anterior bajo el supuesto de que la estructura de información completa no está disponible a los agentes (es decir, los agentes no pueden descubrir el valor exacto del estado)? En caso afirmativo, ¿cómo? Creo que debería equivaler a insertar una tercera restricción en la definición anterior, pero no veo cuál.

¿Se mantiene el Teorema 1 de Bergemann y Morris (2016) en ese caso?

Answer 1

Sin duda puedes hacerlo. Sin embargo, tenga en cuenta que el BCE no será mucho más "pequeño". Esto se debe a que hay muchas estructuras de información que son casi perfectamente informativas, o que revelan completamente algunos estados pero no todos. Por lo tanto, al no permitir la estructura de información completa, simplemente se está eliminando un elemento en la frontera del conjunto de BCE. Tenga también en cuenta que este conjunto tiene, en general, infinitos elementos. Como es un conjunto convexo, cualquier combinación convexa de dos elementos en él también está en el conjunto, por ejemplo.

Volviendo a tu pregunta, hay muchas formas de descartar estructuras de información completas. La que me viene a la mente proviene del hecho de que una señal completamente informativa corresponderá a un BCE en el que para cada $y\in Y$ El apoyo de $P_{V|Y}$ es un singleton. Observe que si este es el caso, aprender qué acción debe tomar implica aprender el estado del mundo.

Por lo tanto, la restricción adicional sería que $P_{Y,V}$ debe satisfacer que existe un $y^*\in Y$ tal que la cardinalidad del soporte de la probabilidad condicional de los estados dada esa acción es mayor que 1, es decir $|P_{V|y^*}|>1$ . Esto es coherente con la idea de que, al menos en algunos casos, el DM sigue sin estar seguro del estado del mundo después de recibir la recomendación de elegir la acción $y^*$ .

Obsérvese que una señal que revela completamente todos los estados del mundo menos uno, y en cambio induce una creencia posterior para dicho estado de $99.999\%$ no se descartará por la restricción adicional, por lo que incluir la restricción tendrá muy poco efecto.