Relaciones binarias para Cobb-Douglas

Question

Estoy revisando antiguos exámenes parciales para preparar mi próximo examen y me encontré con esta pregunta:

Dejemos que $\alpha , \beta \in (0,1)$ . Ahora, dejemos que $f_{\alpha}$ y $f_{\beta}$ en $\mathbb{R^2}$ definirse como $f_{\alpha}(x)=x_1^{\alpha} x_2^{1 - \alpha}$ y $f_{\beta}(x)=x_1^{\beta} x_2^{1 - \beta}$

Ahora, dejemos que R sea una relación binaria sobre $\mathbb{R_x^2}$ . Sea ${x,y} \subset R_+^2$ Lo tenemos: $$xRy \leftrightarrow f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \land f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y)$$

Para qué combinaciones de $\alpha$ y $\beta$ es esta relación binaria completa, para qué combinaciones es transitiva y para qué combinaciones es continua.

Mis pensamientos

• Parece que esto sólo puede ser completo si $\alpha=\beta$ pero no puedo terminar la prueba cada vez que procedo a WLOG con $\alpha < \beta$ ¿Puede alguien ofrecer un intento de demostrar formalmente que esto es completo si $\alpha = \beta$ ?

• Creo que siempre que tengamos xRy, yRz tendremos necesariamente xRz. Es decir. Y entonces, creo que esto es transitivo para todas las combinaciones de $\alpha,\beta$ . Mi prueba consiste en utilizar el buen ordenamiento de los reales y la definición dada para esta relación particular. Si alguien piensa que esto no es cierto para todos los $\alpha,\beta$ por favor, hágame saber por qué/cómo.

• Sé lo que es la continuidad y cómo probarla. Sin embargo, no estoy seguro de para qué combinaciones de $\alpha,\beta$ esta relación es continua. Sospecho que es continua para todas las combinaciones de $\alpha,\beta$ . ¿Es esto cierto? Si es así, ¿puede demostrarlo?

Answer 1

Utilizaré la siguiente definición de continuidad para las relaciones binarias.

Definición 1: Una relación binaria $\mathcal{R}$ en $\mathbb{R}^2_+$ es continua si para cada $x$ , los siguientes conjuntos son cerrados. $$ USC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|y\mathcal{R}x\} $$ $$ LSC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|x\mathcal{R}y\} $$

Definición 2: Un conjunto $Z$ está cerrado si $z_n$ es una secuencia en $Z$ y $z_n\rightarrow z$ entonces $z\in Z$ .

Ahora, dejemos que $\mathcal{R}$ se defina como en su pregunta, es decir $$ x\mathcal{R} y\iff f_\alpha(x) \geq f_\alpha(y)\text{ and }f_\beta(x) \geq f_\beta(y) $$ Dejemos que $x\in \mathbb{R}^2_+$ . Sea $x_n$ sea una secuencia en $USC_x$ convergiendo a $x^\ast$ . Entonces, para cada $n$ , $$ f_\alpha(x_n) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x_n) \geq f_\beta(x). $$ Desde $f_\alpha$ y $f_\beta$ son continuos, tenemos $$ f_\alpha(x^\ast) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x^\ast) \geq f_\beta(x). $$ lo que implica que $x^\ast\in USC_x$ Por lo tanto, $USC_x$ está cerrado. Podemos demostrar también que $LCS_x$ se cierra utilizando argumentos idénticos. Esto concluye que $\mathcal{R}$ es continua.

Observación 1: Los argumentos anteriores proporcionan una estrategia general de análisis de las declaraciones sobre $\mathcal{R}$ . Transitividad de $\mathcal{R}$ puede probarse en un par de sencillos pasos. Su afirmación sobre esta propiedad es un poco vaga, y debería ser más rigurosa, en mi opinión.

Observación 2: Su explicación sobre la exhaustividad necesita también un argumento claramente redactado. Si bien es cierto que $\alpha=\beta$ implica la integridad de $\mathcal{R}$ El razonamiento que lo hace cierto no es exactamente el que tú propones. También es necesario demostrar que $\alpha\neq \beta$ implica que $\mathcal{R}$ no sería completa (creo que debería ser así). Esto requeriría un poco más de trabajo por su parte. Hazme saber si tienes problemas con esto.

En resumen: En mi sincera y humilde opinión, deberías ejercitarte mucho en probar las cosas. Tal vez coger un libro de introducción a la matemática abstracta y tal.

Answer 2

Algunas reflexiones:

Para completar, creo que se puede argumentar con un poco más de fuerza que para cualquier $x_1 \geq y_1, x_2 \geq y_2$ esto satisface la completitud $\forall \alpha, \beta$ .

$$x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} \geq y_1^\alpha y_2^{1-\alpha}$$ $$x_1^\beta x_2^{1-\beta} \geq y_1^\beta y_2^{1-\beta}$$

Para la continuidad, hay dos definiciones que puedes utilizar, una con secuencias y otra con bolas épsilon alrededor de un punto de tu relación binaria.

Answer 3

Lo he resuelto:

nota - Yo uso $R$ para denotar la relación binaria definida anteriormente.

Completitud :

Afirmo que este $R$ no está completo para $\alpha \neq \beta$ . Para ilustrarlo, utilizo un caso extremo.

Dejemos que $\alpha \to 1$ y $\beta \to 0$ s.t. $f_{\alpha} \approx x_1$ y $f_{\beta} \approx x_2$

Ahora, dejemos que [x,y] $\subset \mathbb{R}^2$ s.t. $x_1 >> y_1$ y $x_2<<y_2$

Ahora: $f_{\alpha}(x) \approx x_1 >> y_1 \approx f_{\alpha}(y) $

y: $f_{\beta}(x) \approx x_2 << y_2 \approx f_{\beta}(y)$

así que $f_{\alpha}(x) >> f_{\alpha}(y)$ pero $f_{\beta}(x)<<f_\beta(y) $

He utilizado un razonamiento de caso extremo para demostrar, WLOG, que en cualquier momento $\alpha \neq \beta \space \exists [x,y] \subset \mathbb{R}_+^2 s.t.$ ni $xRy$ o $yRx$

nota_1 - La intuición aquí es muy similar a una prueba delta/epsilon. Para cualquier combinación de alfa y beta (donde los dos no son iguales) puedo elegir x,y para que la prueba anterior siempre se mantenga.

nota_2 - Que el caso de $\alpha = \beta$ es completa es trivial. Supongo que su inclusión aquí no es necesaria.

Transitividad :

Dejemos que $[x,y,z] \subset \mathbb{R}^2$ s.t. $xRy, yRx$

Reclamo $xRz$

desde $Xry$ , $yRx$ y por las propiedades de $\mathbb{R}_+^2$

$$f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \geq f_{\alpha}(z)$$ $$f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y) \geq f_{\beta}(z)$$

$$\implies xRz$$

y $R$ es transitivo.

Continuidad

Ya se ha demostrado anteriormente, por lo que no voy a repetir esta parte de la prueba.