Preferencia sobre las loterías sin axioma de independencia

Question

Supongamos un conjunto de $N$ Los resultados se pueden clasificar en el siguiente orden: $1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$ . Además, supongamos que un decisor tiene preferencia por las loterías sobre estos resultados. Supongamos que la preferencia por las loterías es racional, continua, pero no es necesariamente consistente con el axioma de independencia .

¿Se deduce que la mejor lotería en este caso es la lotería degenerada $(1,0,\dots,0)$ ?

¿Y si el axioma de independencia es violado ?

Answer 1

No, no necesariamente. Sin el axioma de independencia (o algún otro que lo sustituya) no hay mucho que se pueda inferir sobre las preferencias sobre las loterías (no degeneradas) a partir de conocer las preferencias sobre los resultados únicamente.

Por ejemplo, dejemos que $p^L_n$ sea la probabilidad de los resultados $n \in \{1, 2, 3\}$ . Entonces las preferencias sobre las loterías $\succeq^*$ representada por la función de utilidad

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

son continuas y racionales, pero no satisfacen el axioma de independencia. Para $\beta$ suficientemente grande, ni siquiera se da el caso de que $(1,0,0)$ es la mejor lotería, aunque $(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$ y $(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$ .

Para ver por qué, observe que

$$ U(1,0,0) = 1, $$ $$ U(0,1,0) = 0, $$ $$ U(0,0,1) = 0, $$

Sin embargo, para $\beta > 4$ ,

$$ U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

La violación del axioma de independencia puede verse en el hecho de que, cuando $\beta > 4$ ,

$$ [1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

aunque

$$ \left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right]. $$