Ley de Walras V.S. Ley de Say - ¿Hay alguna diferencia?

Question

He estado revisando el concepto de Ley de Walras y a menudo se hace referencia a la Ley de Say. He escuchado y he visto en línea que en realidad son lo mismo, sin embargo, al mirar las definiciones noto una diferencia común.

 

Ley de Walras:
  “Para cualquier vector de precios $p$, tenemos $()0$; el valor de la demanda excesiva es idénticamente cero.”  

  Donde la demanda excesiva $z(p)$ se define como:   $$z(p)=\sum_{i=1}^n(x_i(p,m)-\omega_i)$$   donde $x_i(p,m)$ es nuestra demanda marshalliana para el bien $i$ y $\omega_i$ es la dotación inicial del bien $i$.

Por otro lado,

 

Ley de Say:
  "la producción agregada crea necesariamente una cantidad igual de demanda agregada" (de Wikipedia).

    

o $$Q_s(p)=Q_d(p)$$

¿Sería seguro decir que la Ley de Walras hace referencia solo a la demanda de los consumidores (que se transfiere a través de un mercado y no es "consumida" por la empresa misma a través de la inversión en inventario), mientras que la Ley de Say es una afirmación tanto sobre la demanda de los consumidores como de los productores, independientemente de si va de los productores a los consumidores o de los productores de nuevo a sí mismos en forma de inversión en inventario?

La razón de este argumento proviene del hecho de que consideramos que la inversión en inventario se incluye en la demanda a pesar de que no cambia de manos en un mercado.

Answer 1

La forma en que has definido la demanda excesiva, es solo la demanda excesiva del consumidor. Pero la ley de Walras se cumple en cualquier economía de propiedad privada a todos los precios (en los que la demanda y la oferta están bien definidas). La ley de Walras es básicamente equivalente a que los consumidores gasten todo su presupuesto.

Supongamos que hay $l$ productos, por lo que cada conjunto de productos es un elemento de $\mathbb{R}^l$. Hay $m$ consumidores y $n$ empresas. El conjunto de planes de producción que la empresa $j$ puede producir en términos de producción neta es $Y_j$. Con esta convención, si $p\in\mathbb{R}^l$ es el sistema de precios y $y\in Y_j$ es un plan de producción, entonces $p\cdot y=\sum_{k=1}^l p_k y_k$ es la ganancia resultante. Cada consumidor tiene una dotación $\omega_i\in\mathbb{R}^l$ y una participación (potencialmente cero) $\theta_{ij}$ en la empresa $j$ y la ganancia resultante. Cada empresa es de propiedad privada, por lo que las participaciones de cada empresa suman uno, $\sum_{i=1}^m\theta_{ij}=1$.

En el sistema de precios $p$, el presupuesto de cada consumidor es $p\cdot \omega_i +\sum_{j=1}^n \theta_{ij} p\cdot y_j$. Si el consumidor $i$ demanda $x_i$ y gasta todo su presupuesto, tenemos que $p\cdot x_i=p\cdot \omega_i +\sum_{j=1}^n \theta_{ij} p\cdot y_j$. Sumando y usando que los precios son lineales, $$p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \theta_{ij}y_j$$ $$=p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \theta_{ij}y_j$$ $$=p\cdot\sum_{i=1}^m x_i=p\cdot\sum_{i=1}^m\omega_i+p\cdot \sum_{j=1}^ny_j$$ $$=p\cdot\bigg(\sum_{i=1}^m x_i-\sum_{i=1}^m\omega_i-\sum_{j=1}^ny_j\bigg)=0,$$ por lo tanto, el valor de la demanda excesiva agregada es cero y se cumple la ley de Walras. Pero nada en el argumento requiere que los precios limpien los mercados para que la oferta sea igual a la demanda, $$\sum_{i=1}^m x_i-\sum_{i=1}^m\omega_i-\sum_{j=1}^ny_j=0.$$ Esto último es claramente una condición suficiente para que la demanda excesiva tenga un valor cero, pero está muy lejos de ser necesario.

La ley de Walras es un resultado demostrable bajo algunas suposiciones estándar (que garantizan que los consumidores gasten todo su presupuesto), pero la ley de Say no es un resultado formal de ninguna manera.