Distribución de probabilidad del proceso estocástico $\int_{0} ^{t}\frac{u}{t}dW_{u}$

Question

Me pregunto por la distribución de probabilidad del proceso estocástico

$$X_t=\int_0^t \frac{u} {t} dW_{u}$$ Pensé en usar la ecuación de Kolmogorov pero después de convertirla en una SDE $$dX_t=dW_t-\frac{1}{t^2}(\int_{0}^{t}udW_{u})dt$$ $$X_0=0$$

Encontré que no podía aplicar la ecuación de Kolmogrov hacia adelante ya que el $\mu$ aquí es en sí misma una variable aleatoria. ¿Existe alguna otra ecuación para encontrar la distribución de probabilidad de tales procesos?

Answer 1

Es mejor expresar $X$ como $X_t = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} u \, d W_u$ . La media de $X$ viene dada por $$ \mathbb{E}[X_t]=\frac{1}{t} \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{t} u \, d W_u \right] = \frac{1}{t} 0 = 0 $$ y la varianza de $X$ viene dada por $$ \mathbb{E}[X^2_t]=\frac{1}{t^2} \mathbb{E} \left[ \left( \int_{0}^{t} u \, d W_u \right)^2 \right] = \frac{1}{t^2} \int_{0}^{t} u^2 \, d u = \frac{t}{3} $$ Para demostrar que $X$ se distribuye normalmente, basta con calcular la función generadora de momentos y demostrar que es la de una distribución normal con media cero y varianza como se ha expresado anteriormente. Como soy extremadamente perezoso, déjame escribir $X_t = \int_{0}^{t} f_u d W_u$ donde en su caso $f_u=u/t$ . Para que nuestra proposición sea correcta, debe ser cierto que $$ \mathbb{E} \left[ e^{\lambda X_t} \right] = e^{ \frac{1}{2} \lambda^2 \int_{0}^{t} f_u^2 du } $$ Desde $f$ no es aleatoria, podemos expresar esta ecuación como $$ \mathbb{E} \left[ e^{\lambda X_t - \frac{1}{2} \lambda^2 \int_{0}^{t} f_u^2 du } \right] = 1 $$ Equivalentemente, $$ \mathbb{E} \left[ e^{ \lambda \int_{0}^{t} f_u d W_u - \frac{1}{2} \lambda^2 \int_{0}^{t} f_u^2 du } \right] = 1 $$ El proceso $$ Z_t = e^{ \int_{0}^{t} \left[ \lambda f_u \right] d W_u - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \left[ \lambda f_u \right]^2 du } $$ es una martingala - es la exponencial estocástica. Sabemos que $Z_0=1$ y que $\mathbb{E} \left[ Z_t \right] = Z_0 = 1$ lo que demuestra que $X$ tiene la función generadora de momentos deseada, es decir $X_t \sim \mathcal{N}\left(0,\frac{t}{3}\right) $ .

Answer 2

En este caso, utilizamos la técnica del movimiento browniano en el tiempo para demostrar la normalidad de \begin {align*} Y_t = \int_0 ^t u\N, dW_u, \end {align*} donde $\{W_t, \, t \ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $\{\mathscr{F}_t,\, t \ge 0\}$ . Para $t\ge 0$ , dejemos que $\mathscr{G}_t = \mathscr{F}_{\sqrt[3]{3t}}$ . Considere el proceso $M=\{M_t, \, t\ge 0\}$ , donde \begin {align*} M_t = \int_0 ^{ \sqrt [3]{3t} u\N, dW_u. \end {align*} Entonces, está claro que $M$ es una martingala continua con respecto a la filtración $\{\mathscr{G}_t,\, t \ge 0\}$ . Además, tenemos la variación cuadrática $\langle M, M\rangle_t = t$ . Por la caracterización martingala de Levy del movimiento browniano, $\{M_t, t \ge 0\}$ es un movimiento browniano. Es decir, para $t> 0$ , $M_t$ se distribuye normalmente. En consecuencia, \begin {align*} Y_t &= \int_0 ^t u\N, dW_u \\ &=M_{ \frac {1}{3}t^3} \end {align*} se distribuye normalmente, y $X_t = \frac{1}{t}Y_t$ también se distribuye normalmente.

Comentarios

Tenga en cuenta que, para $t>0$ , $X_t \sim N\big(0, \frac{1}{3}t\big)$ . Entonces, para cualquier $\delta >0$ , \begin {align*} \lim_ {t \rightarrow 0} P(|X_t|> \delta ) &= \lim_ {t \rightarrow 0}2P(X_t > \delta ) \\ &= \lim_ {t \rightarrow 0}2P \left ( \sqrt { \frac {3}{t}}X_t > \sqrt { \frac {3}{t}} \delta\right ) \\ &= \lim_ {t \rightarrow 0} \frac {2}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ { \sqrt { \frac {3}{t}} \delta }^{ \infty }e^{- \frac {x^2}{2}dx \\ &=0. \end {align*} Es decir, como $t$ se acerca a $0$ , $X_t$ se acerca a $0$ en la probabilidad.