Confusión sobre la convexidad de la correspondencia de la mejor respuesta

Question

Recientemente estoy leyendo la prueba de la existencia del Equilibrio de Nash. Como estudiante de matemáticas, entiendo el uso del teorema del máximo de Berge y el teorema del punto fijo de Kakutani, pero no estoy seguro de por qué el espacio de estrategia mixta y la imagen de la correspondencia de mejor respuesta son convexos.

Por ejemplo, si tengo dos estrategias mixtas $\sigma_i,\sigma_i'\in BR_i(\sigma_{-i})$ Por eso, la mezcla de estas dos estrategias, $\lambda\sigma_i+(1-\lambda)\sigma_i'$ ( $0\leqslant\lambda\leqslant1$ ), ¿también es la mejor respuesta? Ya que $\sigma_i,\sigma_i'\in BR_i(\sigma_{-i})$ sugiere $u_i(\sigma_i,\sigma_{-i})=u_i(\sigma’_i,\sigma_{-i})=\max\{u_i(x_i,\sigma_{-i})\}$ Cómo demostrar que $u_i(\lambda\sigma_i+(1-\lambda)\sigma_i',\sigma_{-i})$ ¿también es igual al máximo?

Answer 1

Habría pensado que si la estrategia del oponente $\sigma_{-i}$ aunque sea una estrategia mixta, entonces $$u_i(\lambda\sigma_i+(1-\lambda)\sigma_i', \sigma_{-i})= \lambda u_i(\sigma_i, \sigma_{-i})+(1-\lambda)u_i(\sigma_i', \sigma_{-i})$$ y por lo tanto si $u_i(\sigma_i, \sigma_{-i})=u_i(\sigma_i', \sigma_{-i})$ entonces $u_i(\lambda\sigma_i+(1-\lambda)\sigma_i', \sigma_{-i})$ es igual a los dos. Si son las mejores respuestas, entonces también lo es la estrategia de combinación lineal