Movimiento browniano Problema de precios y coberturas

Question

Dejemos que $W_t$ sea un movimiento browniano y que

$S_t= S_0e^{(rt- \frac{\sigma^2}{3!}t^3 +\int_{0}^{t}\sigma W_s ds )}$

Precio y cobertura en el momento $t=0$ Llamada europea con vencimiento $T$ y el precio de ejercicio $K$ , escrito sobre un subyacente con precio $S$ .

Answer 1

Paso 1: Conozca su distribución

Desde $\int_0^t W_s\mathrm{d}s\sim N\left(0,\frac{1}{3}t^3\right)$ tenemos \begin {align*} S_t &= S_0 \exp\left ( rt- \frac {1}{6} \sigma ^2 t^3 + \sigma \int_0 ^t W_s \mathrm {d}s \right ) \\ & \overset {d}{=} S_0 \exp\left ( rt- \frac {1}{6} \sigma ^2 t^3 + \sigma \sqrt { \frac {1}{3}t^3} Z \right ) \\ & \overset {d}{=} S_0 \exp\left ( \left (r- \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{3} \sigma ^2 t^2 \right ) \right )t + \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2t^2} W_t \right ), \end {align*} donde $Z\sim N(0,1)$ , como se muestra aquí . En particular, el precio de las acciones se distribuye de forma log-normal para cada punto temporal $t$ .

Paso 2: Recuerda tu caja de herramientas

Utilizaremos el siguiente resultado: si $\ln(X)\sim N(m,s^2)$ entonces \begin {align*} \mathbb {E}[ \max\ {X-K,0\}] &= e^{m+ \frac {1}{2}s^2} \Phi\left ( \frac {m- \ln (K)+s^2}{s} \right )-K \Phi\left ( \frac {m- \ln (K)}{s} \right ). \end {align*} En su ejemplo, \begin {align*} \ln (S_T) &= \ln (S_0) + rT- \frac {1}{6} \sigma ^2 T^3 + \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2 T^3} Z, \\ \implies \mathbb {E}[ \ln (S_T)] &= \ln (S_0) + rT- \frac {1}{6} \sigma ^2 T^3, \\ \implies \mathbb {V} \mathrm {ar}[ \ln (S_T)] &= \frac {1}{3} \sigma ^2 T^3. \\ \end {align*}

Paso 3: Reunirlo todo

Asumiendo la ausencia de arbitraje, el precio de la opción es entonces el pago esperado descontado. Asumiré que la dinámica del precio de las acciones anterior es con respecto a la medida neutral de riesgo. Entonces,

\begin {align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb {E}^ \mathbb {Q}[ \max\ {S_T-K,0\}] \\ &= S_0 \Phi\left ( \frac { \ln\left ( \frac {S_0}{K} \right )+ rT+ \frac {1}{6} \sigma ^2 T^3}{ \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2T^3}} \right )-Ke^{-rT} \Phi\left ( \frac { \ln\left ( \frac {S_0}{K} \right )+ rT- \frac {1}{6} \sigma ^2 T^3}{ \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2T^3}} \right ) \\ &= S_0 \Phi\left ( \frac { \ln\left ( \frac {S_0}{K} \right )+ \left (r+ \frac {1}{6} \sigma ^2 T \right )T}{ \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2T}\N; T} \right )-Ke^{-rT} \Phi\left ( \frac { \ln\left ( \frac {S_0}{K} \right )+ \left (r- \frac {1}{6} \sigma ^2 T^2 \right )T}{ \sqrt { \frac {1}{3} \sigma ^2T}\N; T} \right ). \end {align*}