Riesgo moral con agente neutral al riesgo

Question

Tenemos un modelo principal-agente con acciones ocultas en el que el principal tiene aversión al riesgo y el agente es neutral al riesgo; supongamos también que hay dos niveles de producción, $x$ y $x'$ (con $x'>x$ ) y dos acciones $a,a'$ . Definir $p(a),p(a')$ las probabilidades de $x'$ en las acciones $a,a'$ respectivamente. Además, la desutilidad del agente por la acción $a'$ es $-1$ . Los salarios asociados a $x,x'$ son $w,w'$ respectivamente.

Mi problema es que no estoy seguro de cómo demostrar que el contrato óptimo requiere $x'-w' =x-w$ es decir, que el agente, al ser neutral al riesgo, asume toda la variabilidad asociada al proyecto.

Formalizo el problema (supongamos que el director quiere inducir $a'$ (si no, mi pregunta es trivial)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0 $

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

En particular, cuando intento resolver el problema maximizando el beneficio esperado del principal sujeto a la racionalidad individual "estándar" (con $\lambda$ multiplicador) y la compatibilidad de los incentivos (con $\mu$ multiplicador) restricciones (supongo que el director está interesado en la acción más costosa $a'$ ) Me salen dos ecuaciones que no son consistentes con el resultado mencionado. En particular:

$ u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$ u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

Es evidente que $x-w = x'-w'$ se mantiene si $p(a) =p(a')$ que no es el caso en este problema (aquí tenemos que $p(a') >p(a)$ ). Otra posibilidad sería suponer que la restricción de compatibilidad de incentivos es floja (por lo tanto $\mu = 0$ ); sin embargo, no puedo entender por qué eso debería sostenerse, cuando el principal quiere inducir la acción más costosa $a'$ (ayuda aquí)

He leído en Internet que otro enfoque sería suponer que el principal "vende" el proyecto al agente y éste, después de haber elegido qué nivel de esfuerzo maximiza su utilidad esperada, devuelve una cantidad fija al principal (llámese $\beta_{a}, \beta_{a'}$ )

Así que tendríamos algo como:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0 $ si el agente opta por realizar un alto esfuerzo y $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0 $ de lo contrario.

Pero entonces, ¿cómo pasar de ahí? ¿Cómo asegurarse de que el agente va a elegir la acción $a'$ ? ¿Cómo se determinan los importes fijos? ¿Por qué son óptimos?

Answer 1

Una cosa que me molesta aquí es lo siguiente: la restricción de Compatibilidad de Incentivos es

$$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$$

$$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$$

...ya que por suposición $p(a')-p(a) >0$ . Se nos dice que deberíamos encontrar eso en lo óptimo, $$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$$

Combinando $(1)$ y $(2)$ si efectivamente este es el óptimo bajo las restricciones dadas, también debemos tener

$$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$$

Pero esto es algo adicional, necesario restricción sobre las magnitudes a priori, que debe cumplirse para que la solución óptima postulada sea admisible. Incluso si efectivamente se asume tal restricción, en cualquier caso, reduce visiblemente la generalidad del problema (que pretende mostrar algo general, es decir, cómo la neutralidad al riesgo del agente afecta a la solución).

Sin embargo, vamos a trabajar esto un poco más formalmente. Supondré que $w, w'$ puede ser cero, pero no negativo. Se trata de un problema de maximización en forma normal con restricciones de desigualdad, variables de decisión no negativas y multiplicadores no negativos. El lagrangeano completo del problema es por tanto (compactaré la notación de forma obvia),

$$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$$

Las condiciones esenciales de primer orden son

$$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$$

y análogamente para $w'$ . Estos resultados son

$$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$$

$$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi $$

$$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$$

$$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$$

$$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que no pueden ser cero los dos salarios, porque se violarían las restricciones. Teniendo en cuenta esto, considere la posibilidad de que el $IR$ es vinculante (por lo que $\lambda >0$ ). Si es vinculante, entonces con no ambos salarios cero, el $IC$ se violará necesariamente la restricción. Por lo tanto, concluimos que

$$\lambda_* = 0$$

y las condiciones de primer orden se convierten ahora en

$$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$$

$$ u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$$

Ahora bien, tenga en cuenta que si $\xi =0$ (es decir $w >0$ ) entonces $(4a)$ debe mantenerse como una igualdad y con el último término de la derecha igual a cero. Pero esto requeriría una utilidad marginal negativa que es inadmisible. También sabemos que no ambos salarios pueden ser cero. Así que concluimos que debemos tener

$$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$$

y las condiciones se convierten ahora en

$$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$$

$$ u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$$

Eq. $(5b)$ implica que $\mu_*>0$ bajo una especificación habitual de la función de utilidad, que no da una utilidad marginal nula excepto en el infinito. Esto significa a su vez que el $IC$ La restricción debe mantenerse como una igualdad. Dado que $w_*=0$ esto da

$$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$$

Esto debería sonar, porque el lado derecho de $(6)$ es el mismo que el lado derecho de $(1)$ y $(3)$ .

A saber, si estamos asumiendo a priori que $x'-x = \frac 1{p'-p}$ , entonces la solución a la que hemos llegado valida la afirmación $x'-w'_* = x-w_*$

Bajo este supuesto adicional, también obtenemos

$$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$$

$$ u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$$

Combinando, obtenemos

$$ \mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$$

$$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$$

Esto es admisible . Así que bajo $x'-x = \frac 1{p'-p}$ obtenemos la solución

$$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$$

Answer 2

Esta respuesta demuestra tres cosas:

1. No necesitamos el enfoque lagrangiano para resolver su problema de maximización.
2. No necesitamos la suposición de que $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$ o bien.
3. La condición $x'-w'=x-w$ no se satisface necesariamente para el contrato óptimo.

Arreglar efectivamente el pago $w$ . El problema se puede escribir \begin {equation*} \max_ {w'}{u(x'-w')p(a')} \end {equation*} dadas las restricciones \begin {align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end {align*} Es evidente que el director tiene interés en fijar el menor valor posible para $w'$ dado este conjunto de restricciones, ya que la función objetivo es decreciente en $w'$ . Por lo tanto, establecerá \begin {Ecuación} w' = \max\ { \frac {1-w[1-p(a')]}{p(a')}, \frac {1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end {Ecuación}

Como hizo @Alecos_Papadopoulos, tiene sentido suponer que el agente está protegido por una responsabilidad limitada, es decir, que sus pagos son no negativos. De lo contrario, el problema no tiene necesariamente una solución: el principal siempre podría beneficiarse de la disminución de $w$ y el aumento de $w'$ para mantener satisfecha la restricción de racionalidad individual. Pero el contrato $(w=-\infty,w'=+\infty)$ no es obviamente una solución satisfactoria. Por lo tanto, limito la atención al caso en que $w \geq 0$ y $w' \geq 0$ .

La condición $w \geq 0$ implica \begin {equation*} \dfrac {1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac {1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end {equation*} y por lo tanto \begin {equation*} w' = \dfrac {1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end {equation*}

Introduciendo esta ecuación en la función objetivo, el problema del director se convierte en

\begin {equation*} \max_ {w \geq 0}{u(x'- \frac {1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end {equation*} Esta función objetivo es decreciente en $w$ . Por lo tanto, simplemente establece $w=0$ y $w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$ . Como conclusión, la igualdad $x'-w'=x-w$ no tiene razón de ser a menos que se asuma que $x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$ es decir, que \begin {ecuación*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end {ecuación*} Esta última ecuación significa que el excedente social resultante de $a'$ es igual al excedente resultante de $a$ es un caso muy particular en el que el coste del esfuerzo para el agente se compensa exactamente con el aumento de la producción esperada para el principal. En todos los demás casos, tenemos $x'-w' \ne x-w$ .

Creo que la razón por la que el agente no asume todo el riesgo es porque sus acciones no son observables y, por lo tanto, no son contratables. Esta propiedad sería cierta en una economía de riesgo compartido con asignaciones no restringidas. Pero la asignación está aquí distorsionada por la necesidad de incentivar al agente para que realice un esfuerzo elevado.