Cribado multidimensional y convexidad de la función excedente/renta

Question

Estoy empezando a leer la literatura de los modelos de selección multidimensional para los monopolistas que venden $n$ de bienes a una serie de compradores con $m=n$ tipos de dimensiones, y Rochet (1987) demuestra que un mecanismo es implementable si y sólo si la función de excedente es convexa. Sea $s(\theta)$ sea la función de excedente definida como $\max\{ u(x,\theta) -t(\theta)\}$ donde $x \in \mathbb{R}^n$ y $t$ es la función tarifaria que el monopolista anuncia por el Principio de Imposición.

Por ejemplo, el monopolista resuelve el problema de maximizar el siguiente funcional (suponiendo 0 coste de producción del bien) $$\max J(t) = \int_D t(\theta) \mathrm{d} \theta = \int_D u(x,\theta)-s(\theta) \mathrm{d} \theta $$ donde $\theta \in [0,1]^n$ y $t: [0,1]^n \to \mathbb{R}$ .

Mi pregunta es: ¿cuál es la intuición detrás del hecho de que $s(\theta)$ debe ser convexo? ¿Qué ocurre si la función es lineal a trozos (y, por tanto, trivialmente convexa) pero globalmente cóncava, es decir, si hay pliegues a lo largo de los conjuntos de medida nula? ¿Puede indicarme algún recurso?

Answer 1

En primer lugar, es importante tener claro lo que demuestra Rochet. En el teorema $1$ de Rochet (1987), muestra que monotonía cíclica es equivalente a la implementabilidad de un mecanismo para entornos generales (es decir, espacios de asignación/tipo arbitrarios). (Véase el enunciado del teorema $1$ o un texto estándar como Borgers (2015), para la definición de monotonicidad cíclica).

El resultado de convexidad (proposición $2$ ) se aplica al caso cuando $u(x,\theta)$ es lineal en $\theta$ . En este caso, tenemos que

$$ V(\theta) = \max_{\theta^\prime} \, u\left(x\left(\theta^\prime\right),\theta\right) - t\left(\theta^\prime \right) .$$

La convexidad de $V$ se deduce del hecho de que es el máximo de una familia de funciones lineales. No estoy seguro de que haya que dar mucha más intuición aquí, pero un simple dibujo puede ayudar. (Es decir, dibujar dos rectas que se crucen. El máximo sobre las dos rectas será convexo, mientras que el mínimo será cóncavo). Este también puede ayudar.

Answer 2

Esta es una pregunta antigua, y mis disculpas por sacarla a la luz de nuevo. Para cualquiera que tenga curiosidad por la respuesta, creo que el resultado es bastante intuitivo y, a menos que me esté perdiendo algo por completo, la respuesta parece lo suficientemente clara como para que me disculpe por hacerle perder el tiempo.

Esencialmente, la compatibilidad de incentivos requiere que decir la verdad produzca una recompensa mayor. Ahora requerimos que esto sea así en todas las dimensiones del tipo del comprador. Esto es exactamente similar a la convexidad, y podemos verlo a través de la expansión de la serie de Taylor. Cualquier movimiento a lo largo de cualquier otra dimensión es una subestimación.