De consumidor único-múltiple a consumidor múltiple-unidad única

Question

Cuando hice un curso de teoría del consumidor, la economía siempre tenía un único consumidor, representado por una función de utilidad positiva monótona $u(x,y)$ y un ingreso $I$ . Precios dados $p_x$ y $p_y$ es posible calcular la demanda de productos por parte del consumidor $x$ y $y$ .

Ahora, me ocupo de un tipo de economía diferente: hay muchos consumidores, cada uno de los cuales quiere una sola unidad de cada producto. Cada consumidor está representado por tres valores positivos: $u_x$ (utilidad por tener $x$ ), $u_y$ (utilidad por tener $y$ ) y $u_{xy} \geq \max(u_x,u_y)$ (utilidad por tener ambos $x$ y $y$ ). Dados los precios $p_x$ y $p_y$ Cada consumidor compra $x$ o $y$ o ambos, el que ofrezca la mayor utilidad neta (utilidad del producto/s menos el precio). Por tanto, es posible calcular las demandas agregadas de $x$ y $y$ .

MI PREGUNTA ES: ¿Existe una forma natural/estándar de convertir entre estos dos tipos de economías?

Es decir, dada una función de utilidad $u(x,y)$ e ingresos $I$ para un solo consumidor, ¿es posible construir un conjunto de consumidores con diferentes $u_x$ , $u_y$ y $u_{xy}$ ¿se puede decir que las curvas de demanda de ambas economías son las mismas?

Answer 1

La función de distribución acumulativa (FDA) describe la probabilidad de que una variable aleatoria X con una determinada distribución de probabilidad tenga un valor menor o igual que x. Es decir: $$F_X(x) = P(X \leq x) $$

En este contexto, piense en $X$ como la valoración de un determinado demandante de unidades. Las demandas se distribuyen con una determinada distribución de probabilidad. Por tanto, la FCD indica la probabilidad de que un demandante extraído al azar tenga una valoración al menos tan grande como $x$ . Si todos demandan una unidad si el precio $p \leq X$ y 0 en caso contrario, entonces esto también da una función de demanda:

$$Q_d(p) = P(X \geq p) = 1 - P(X \leq p) $$

porque a cada precio $p$ todos con una valoración al menos tan alta como $p$ comprarán su única unidad. Pero la fracción de personas con una valoración al menos tan alta como $p$ es uno menos la fracción de personas con valoraciones $p$ o inferior.

A continuación, consideremos un único hogar con una función de demanda que resulta ser como $1 - P(X \leq p) $ . Este hogar tendrá una demanda del bien a todos los precios idéntica a la demanda colectiva de los demandantes unitarios anteriores.

Creo que esto se generaliza al caso más complejo que presentas en la pregunta, pero no he concretado los detalles.