Duda sobre el equilibrio de Nash de estrategia mixta

Question

Aquí está el video Yo también me referiré.

Ahora soy un completo principiante en la teoría del juego, así que lo siento si esto suena como una pregunta estúpida, pero ¿por qué un jugador quiere equilibrar los pagos de otro jugador a través de su estrategia.

Como que no tiene mucho sentido intuitivo para mí en cuanto a por qué querría hacer eso. ¿Cómo es exactamente la mejor respuesta a la situación?

Editar:

Perdón por no haber hecho la pregunta de forma autónoma. Así que el juego en cuestión es el de la Batalla de los Sexos, y esta es la matriz de pagos.

Answer 1

Supongamos que el jugador $i$ juega la estrategia mixta $\mathbb{P}_i(B)= p_i$ y asumir por ahora que el apoyo de $\mathbb{P}_i$ es $\{B,F\}$ (es decir, el jugador 1 juega una estrategia totalmente mixta). Para ambos $B$ y $F$ para estar en el apoyo de 1, debe obtener el mismo pago esperado de cualquiera de las dos estrategias (de lo contrario, pondría todo el peso en la estrategia con mayores ganancias).

Ahora, la utilidad esperada del jugador 1 al jugar $B$ es: $\mathbb{E}[u_1(B,.)] = p_2u_1(B,B)+(1-p_2)u_1(B,F) = 2p_2$

Del mismo modo, la utilidad esperada del jugador 1 del jugador en $F$ es: $\mathbb{E}[u_1(F,.)] = p_2u_1(F,B)+(1-p_2)u_1(F,F) = 1-p_2$

El punto importante a tener en cuenta aquí es que la expectativa es sobre las acciones del jugador 2 - ya que el jugador 1 conoce la distribución utilizada por el jugador 2 ( en equilibrio ), pero no la acción realizada.

Se puede escribir la función de mejor respuesta del jugador 1 de la siguiente manera: $BR_1(p_2) = \begin{cases} 0 & \text{ if } 2p_2 < 1-p_2 \\ (0,1) & \text{ if } 2p_2 = 1-p_2\\ 1 & \text{ if } 2p_2 > 1-p_2 \\ \end{cases}$

Dado que asumimos que 1 utiliza una estrategia totalmente mixta, el $BR_1$ dicta que esto sólo puede ocurrir cuando $2p^*_2 = 1-p^*_2 \implies p^*_2 = \frac{1}{3}$ .

En otras palabras, $p^*_2$ es la única probabilidad que es consistente con que la jugadora 1 mezcle sus dos estrategias . Todavía no está claro si esto forma un equilibrio; para ello hay que calcular $BR_2$ (utilizando los mismos pasos) y ver si $p^*_1\in(0,1)$ . En ese caso, lo mejor es que ambos jugadores se respondan mutuamente y, por tanto, que jueguen un Equilibrio de Nash .

P.D. - por ejemplo, si descubres que $p^*_1 = 1$ (es decir, 1 querría jugar a la estrategia pura $B$ ), ¡entonces nuestra suposición de partida es errónea! Así que tenemos que volver a hacer el cálculo para $p^*_2$ .

Answer 2

¿por qué querría un jugador equilibrar los pagos de otro jugador

No creo que nadie esté diciendo que un jugador quiere para hacerlo. Pero en el equilibrio mixto su estrategia es tal que esta propiedad se mantiene. Sin esta propiedad, cualquier estrategia mixta del otro jugador sería subóptima.

Answer 3

La cuestión que se investiga en el vídeo es la existencia de equilibrios de Nash, no las elecciones óptimas de los jugadores.

Hay dos estrategias conjuntas de equilibrio de Nash puro obvias, a saber, que ambos jueguen B o que ambos jueguen F, ya que en cualquier caso una desviación de la estrategia por parte de uno de los jugadores conlleva un efecto esperado negativo para esa jugada es el otro sigue con la estrategia.

La cuestión que se plantea es si existe también una estrategia conjunta de equilibrio de Nash mixto. Será un equilibrio de Nash si ninguno de los jugadores puede mejorar su propio resultado cambiando de estrategia mientras la estrategia del otro permanece igual. Por lo tanto, si un jugador decide encontrar un equilibrio de Nash mixto (en lugar de la expectativa de maximización más normal), entonces el enfoque de ese jugador es encontrar una manera de hacer que el resultado sea indiferente a la estrategia del otro jugador.

Esa es la respuesta a su pregunta. Pero no es un enfoque particularmente bueno para ese jugador desde el principio. El resultado es una ganancia esperada de $\frac23$ para cada jugador, mientras que los equilibrios de Nash de las estrategias coordinadas dan $2$ o $1$ . El único mérito de este equilibrio de Nash de estrategia mixta es que reduce el riesgo de estrategias opuestas, que podrían ser peores.

Answer 4

Obsérvese que si un jugador es indiferente entre dos estrategias, obtiene el mismo beneficio con cualquiera de ellas. Esto significa que cualquier cosa es óptima (una respuesta óptima): Jugar una estrategia pura o cualquier estrategia mixta. Esto incluye la estrategia mixta que hace que su oponente sea indiferente.

Por supuesto, si el jugador es no indiferente, elegirá una estrategia pura o la otra. Pero este no puede ser el caso en un equilibrio de Nash en el que ambos jugadores utilizan estrategias mixtas.