Cálculo de los tipos teóricos al contado de los bonos del tesoro a partir de las letras del tesoro

Question

En Introducción al análisis de la renta fija de Frank Fabozzi, p. 41, hay un ejemplo de cómo calcular el tipo de interés teórico al contado de un bono del tesoro a 1,5 años con un interés del 3,5% anual y cupones semestrales.

\begin {array} {|c|c|c|c|c|} \hline \text {Período} & \text {Años} & \substack { \text {Rendimiento anual a} \\\text {Madurez (BEY) (%)}} & \text {Precio} & \substack { \text {Tasa de interés} \\\text {(BEY) (%)}} \\ \hline 1 & 0.5 & 3.00 &-& 3.0000 \\ 2 & 1.0 & 3.30 &-& 3.3000 \\ 3 & 1.5 & 3.50 &100.00& \text {?} \\ \hline \end {array}

Las dos primeras filas son las letras del tesoro de cupón cero.

El flujo de caja del bono del tesoro a 1,5 años es obviamente:

0,5 años: 0.035 × \$100 × 0.5 = \$ 1.75
1,0 año: 0.035 × \$100 × 0.5 = \$ 1.75
1,5 años: 0.035 × \$100 × 0.5 + 100 = \$ 101.75

Ahora afirma que el valor actual de los flujos de caja es:

$$\mathrm{PV}(z_1, z_2, z_3) = \frac{1.75}{(1+z_1)^1} + \frac{1.75}{(1+z_2)^2} + \frac{101.75}{(1+z_3)^3}$$ donde

$z_1 =$ la mitad del tipo de interés teórico al contado a 6 meses anualizado
$z_2 =$ la mitad del tipo de interés al contado teórico anualizado a un año
$z_3 =$ la mitad del tipo spot teórico anualizado a 1,5 años.

Si resolvemos $\mathrm{PV}(3.00, 3.30, z_3) = 100$ para $z_3$ Se supone que obtenemos el tipo de cambio al contado teórico del bono del Tesoro a 1,5 años, como se ha descrito anteriormente.

Pero, ¿por qué puede hacer todo el ejemplo en intervalos semestrales? La letra del tesoro a 1 año no paga ningún cupón semestral, ¿verdad? ¿De dónde viene esa capitalización?

Por qué no lo es: $$\mathrm{PV}(z_1, z_2, z_3) = \frac{1.75}{1+z_1} + \frac{1.75}{2\cdot z_2} + \frac{101.75}{(1+z_3)^3}\; ?$$

OK, BEY se da como tipo efectivo semestral. La convención simplemente se define así. Así que la cuestión está resuelta.

Answer 1

La pregunta realmente es ¿cuál es el factor de descuento para un pago en un año suponiendo una capitalización semestral? Porque entonces su valor actual es simplemente 1,75 veces este factor de descuento.

Si tiene $k$ periodos de capitalización, un pago de 1$ en $n$ años de valor hoy en día \begin {align*} \frac {1}{ \left (1+ \frac {r}{k} \right )^{n \cdot k}}, \end {align*} donde $r$ es el tipo de interés al contado anualizado. En su caso, $k=2$ para la capitalización semestral y $n$ es en primer lugar $0.5$ entonces $1$ y finalmente $1.5$ . Esto da lugar a los siguientes tres factores de descuento \begin {align*} \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{0.5}}{2} \right )^{ \frac {1}{2} \cdot 2}} &= \frac {1}{1+ \frac {r_{0.5}}{2}}, \\ \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1}}{2} \right )^{1 \cdot 2}} &= \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1}}{2} \right )^{2}}, \\ \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1.5}}{2} \right )^{ \frac {3}{2} \cdot 2}} &= \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1.5}}{2} \right )^{3}}, \end {align*}

En cuanto a la lógica que hay detrás: Tu bono tiene tres pagos y necesitas encontrar su valor hoy. Así pues, descompones el bono que paga el cupón en diferentes bonos de cupón cero (ZCB) con un valor nominal de \$1 y ves que \begin {align*} T-Bond & = 1.75 \cdot ZCB(0,5y) + 1,75 \cdot ZCB(1y) + 101,75 \cdot ZCB(1.5y) \\ &= 1.75 \cdot \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{0,5y}}{k} \right )^{ \frac {1}{2} \cdot k}} + 1.75 \cdot \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1y}}{k} \right )^{1 \cdot k}} + 101.75 \cdot \frac {1}{ \left (1+ \frac {r_{1,5y}}{k} \right )^{ \frac {3}{2} \cdot k}} \end {align*} Así pues, utilizas el tipo de interés al contado a 1 año porque tienes un pago a 1 año y necesitas descontarlo hasta hoy. El tipo de interés compuesto que se utilice no importa, por lo que se puede escribir la ecuación anterior, por ejemplo, en términos de $e^{-r T}$ y sigue obteniendo el mismo resultado.