Fórmula de fijación de precios "en mora" de Caplet

Question

El tipo Libor a plazo $L(t,t_1,t_2)$ con $0 \leq t \leq t_1$ debe ser una martingala bajo la medida T-forward asociada al bono cupón cero $P(t,t_2)$ que madura en el momento $t_2$ .

El precio de una cápsula que "madura" en $t_2$ entonces se convierte en trivial (es decir, un caplet donde el Libor se fija en $t_1$ pero el pago se produce en $t_2$ ):

$$C(t_0, T=t_2)=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{P(t_2,t_2)}\right]=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}\right]=P(t_0,t_2)Black76(K,L(t_0,t_1,t_2))$$

Sin embargo, supongamos que la cápsula madura a $t_1$ (que en realidad parece más natural, porque es cuando el Libor $L(t,t_1,t_2)$ conjuntos), entonces tenemos:

$$C(t_0, T=t_1)=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{P(t_1,t_2)}\right]$$

No es inmediatamente obvio cómo evaluar esta expectativa (podríamos elegir $P(t,t_1)$ como Numeraire en su lugar, pero entonces tendríamos que idear un proceso más complicado para el Libor $L(t,t_1, t_2)$ bajo este Numeraire que sólo un proceso de martingala exponencial sin deriva que utilizamos bajo el $P(t,t_2)$ como numerario, así que eso no resuelve realmente la cuestión).

¿Cómo se fija el precio de esta cápsula? ¿Modelo de mercado Libor?

Answer 1

Dejemos que $P(t, T)$ sea el precio en el momento $t$ de un bono de cupón cero con vencimiento $T$ y el valor nominal de la unidad. Considere la fijación de precios de la cápsula con pago $(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+$ en el momento $t_1$ , donde $0<t_1 < t_2$ y, para $0\le s \le t_1$ , \begin {align*} L(s; t_1, t_2) = \frac {1}{t_2-t_1} \left ( \frac {P(s, t_1)}{P(s, t_2)}-1 \right ) \end {align*} es el tipo de interés a plazo fijado en el momento $s$ para el período de cálculo $(t_1, t_2]$ . Sea $Q_{t_1}$ y $Q_{t_2}$ sean los respectivos $t_1$ - y $t_2$ -medidas de probabilidad hacia adelante, y $E_{t_1}$ y $E_{t_2}$ sean los correspondientes operadores de expectativa.

Tenga en cuenta que, para $0\le s \le t_1$ , \begin {align*} \frac {dQ_{t_1}}{dQ_{t_2}} \big |_{s} &= \frac {P(0, t_2)}{P(0, t_1)} \frac {P(s, t_1)}{P(s, t_2)} \\ &= \frac {P(0, t_2)}{P(0, t_1)} \Big (1+ (t_2-t_1)L(s; t_1, t_2) \Big ). \end {align*} Suponemos que, bajo la $t_2$ -medida de probabilidad hacia adelante $Q_{t_2}$ , \begin {align*} dL(t; t_1, t_2) = \sigma L(t; t_1, t_2) dW_t, \end {align*} para $0\le t \le t_1$ , donde $\sigma$ es la volatilidad y $\{W_t,\, t \ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar. Entonces, el valor de la cápsula viene dado por \begin {align*} &\\N- P(0, t_1) E_{t_1} \big ((L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \big ) \\ =&\NP(0, t_1) E_{t_2} \left ( \frac {dQ_{t_1}}{dQ_{t_2}} \big |_{t_1}(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \right ) \\ =&\ P(0, t_2) E_{t_2} \left ( \Big (1+ (t_2-t_1)L(t_1; t_1, t_2) \Big )(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \right ) \\ =&\ P(0, t_2) E_{t_2} \big ((L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \big ) + P(0, t_2)(t_2-t_1) E_{t_2} \big (L(t_1; t_1, t_2)(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \big ). \end {align*} Los cálculos restantes son sencillos, dada la dinámica de $L(t_1; t_1, t_2)$ en $Q_{t_2}$ .

Answer 2

Caso I

Consideremos una derivada con un pago $H(L(T_{f},T_{S},T_{E}))$ que se paga en el momento $T_{p}$ .

Tenga en cuenta que:

• $T_{f}$ - Fecha de fijación del LIBOR;
• $T_{S}$ - Fecha de inicio del LIBOR;
• $T_{E}$ - Fecha de vencimiento del LIBOR;
• $T_{p}$ - fecha de pago del derivado.

También, $T_{f}=T_{S}=t_{1}$ y $T_{E}=T_{p}=t_{2}$ en la pregunta.

En su primer caso $H(L(T_{f},T_{S},T_{E}))=(L(T_{f},T_{S},T_{E})-K)_{+}$ y el precio sin arbitraje es:

$$C(t)=P(t,T_{p})\cdot\mathbb{E}^{T_{p}}\Big[H(L(T_{f},T_{S},T_{E}))|\mathcal{F}_{t}\Big],$$

donde $\mathbb{E}^{T_{p}}[\ \cdot\ ]$ es la expectativa bajo $T_{p}$ -medida de avance (con $P(t,T_{p})$ como numerario) y $T_{p}=T_{E}$ .

Caso II

En su segundo caso, la fecha de pago del derivado $T_{p}$ es la misma que la fecha de fijación $T_{f}$ y el LIBOR tiene vencimiento $T_{E}=T_{p}+3M$ El subyacente es simplemente la tasa LIBOR in-arrear.

Para ser más específicos, en su caso: $T_{f}=T_{p}=T_{S}=t_{1}$ y $T_{E}=t_{2}$ .

El pago de la segunda derivada (fijada en el tiempo $T_{p}$ y pagado en el momento $T_{p}$ ) tiene el siguiente aspecto:

$$H(L(T_{p},T_{p},T_{E}))=(L(T_{p},T_{p},T_{E})-K)_{+}.$$

Esto significa que, para fijar el precio del derivado, tenemos que cambiar $T_{p}$ -Medida de avance a $T_{E}$ -medida de avance (teniendo en cuenta que $T_{f}=T_{p}=T_{S}$ ):

$$C(t)=P(t,T_{p})\cdot\mathbb{E}^{T_{p}}\Big[H(L(T_{f},T_{S},T_{E})|\mathcal{F}_{t}\Big]$$ $$=P(t,T_{p})\cdot\mathbb{E}^{T_{p}}\Big[H(L(T_{p},T_{p},T_{E}))|\mathcal{F}_{t}\Big]$$ $$=P(t,T_{E})\cdot\mathbb{E}^{T_{E}}\left[H(L(T_{p},T_{p},T_{E}))\cdot\frac{P(T_{p},T_{p})}{P(T_{p},T_{E})}{}|\mathcal{F}_{t}\right]$$ $$=P(t,T_{E})\cdot\mathbb{E}^{T_{E}}\left[H(L(T_{p},T_{p},T_{E}))\cdot\frac{1}{P(T_{p},T_{E})}|\mathcal{F}_{t}\right]$$ $$=P(t,t_{2})\cdot\mathbb{E}^{t_{2}}\left[H(L(t_{1},t_{1},t_{2}))\cdot\frac{1}{P(t_{1},t_{2})}|\mathcal{F}_{t}\right]$$

EDITAR:

$$=P(t,t_{2})\cdot\mathbb{E}^{t_{2}}\Big[(L(t_{1},t_{1},t_{2})-K)^{+}\cdot(1+(t_{2}-t_{1})L(t_{1},t_{1},t_{2}))|\mathcal{F}_{t}\Big]$$ $$=P(t,t_{2})\cdot\Big(\mathbb{E}^{t_{2}}\Big[(L(t_{1},t_{1},t_{2})-K)^{+}|\mathcal{F}_{t}\Big]+(t_{2}-t_{1})\cdot\mathbb{E}^{t_{2}}\Big[L(t_{1},t_{1},t_{2})\cdot(L(t_{1},t_{1},t_{2})-K)^{+}|\mathcal{F}_{t}\Big]\Big).$$

Mira el Gordon de la solución.