Minimizar la rotación global de la cartera con restricciones

Question

Supongamos que tengo M carteras, cada una de las cuales puede representarse como una matriz de T por N, donde N representa el número de valores negociados y T el número de días. Para cada matriz de cartera, cada fila está bajo las siguientes restricciones:

1. Los valores absolutos de cada fila suman uno, lo que representa el peso de la asignación de dinero.
2. La suma de todas las entradas de cada fila es cero, lo que significa una cartera neutra en dólares.

Mi pregunta es si existe una solución matemática para encontrar los pesos

w_1, w_2, ... w_M 

tal que

w_i>=0 for i in 1,2, ... M

y

w_1 + w_2 + ... + w_M = 1 

de manera que la cartera combinada tenga una rotación global mínima.

Answer 1

No estoy del todo seguro de a qué te refieres con tu montaje. Normalmente, lo que uno quiere hacer es maximizar la utilidad dada alguna restricción de rotación. Creo que de lo que estás hablando es de optimizar varias carteras y minimizar la rotación en todas ellas. Por lo tanto, si entiendes el caso simple, debería ser fácil adaptarlo a tu problema.

En primer lugar, consideremos una restricción de tamaño de libro

$$\sum\left|w_{i}\right|=K$$

que garantiza que el valor absoluto de cada posición sume algún valor $K$ . Los optimizadores convexos no pueden manejar esto debido a la discontinuidad. El truco consiste en reescribirlo con variables de holgura $x_{i}\geq0$ y $y_{i}\geq0$ con las restricciones $$w_{i}=x_{i}-y_{i}$$ $$\sum\left(x_{i}+y_{i}\right)=K$$ Así, por ejemplo, si $w_{1}=-0.1$ entonces $x_{1}=0$ y $y_{1}=0.1$

Este análisis se extiende fácilmente para manejar las restricciones de rotación de la forma

$$\sum\left|w_{i} - w_{0}\right|=K$$

por lo que todo lo que se requiere es cambiar la restricción que restringe $x$ y $y$ a

$$w_{i} - w_{0}=x_{i}-y_{i}$$

A veces, cuando se trata de costes de transacción, también puede ser útil añadir la restricción

$$x_{i}y_{i}=0$$

para garantizar que $x$ o $y$ y se identifica y uno se fija en cero. Puede que no sea necesario porque el optimizador debería forzar que uno sea cero como resultado de encontrar la cartera óptima, pero si ves algo como si $w_{1}=-0.1$ y $x_{1}=0.1$ y $y_{1}=0.2$ entonces querrás añadirlo. Esto requeriría un optimizador que maneje restricciones no lineales, mientras que lo anterior sólo requiere restricciones de desigualdad.

Además, un enfoque alternativo sería colocar una restricción en la norma L2 $$\left\Vert w_{i}-w_{0}\right\Vert \leq K$$ que se puede reescribir $$\left(w_{i}-w_{0}\right)'\left(w_{i}-w_{0}\right)\leq K $$ y se incluye en cualquier optimizador que maneje restricciones no lineales. La desventaja de esto es que es un poco menos intuitivo que una restricción de rotación adecuada y puede que tenga que probar diferentes valores de $K$ .