Definición de preferencias continuas

Question

Supongamos que el conjunto de consumo $X=R_{+}^N$ . Según la definición, las preferencias son continuas si para cualquier $x\in X$ establece $(y\in X:x\succeq y)$ y $(y\in X:y\succeq x)$ están cerradas. Está claro que las preferencias representadas por la función de utilidad $u(k_{1},k_{2})=k_{1}+k_{2}$ son continuos. Pero ahora tomemos algún haz x=(1,1). Entonces fijemos $(y\in X:y\succeq (1,1))$ no se cierra al acercarse al infinito. Mi pregunta es ¿cómo manejar esta contradicción?

Answer 1

Parece que estás confundiendo un "intervalo cerrado" con un "conjunto cerrado". Ciertamente, los intervalos cerrados (multidimensionales) son conjuntos cerrados, pero el concepto de conjunto cerrado es más amplio.

Un conjunto cerrado es, bueno, sólo cerrado, y no necesariamente acotado.

Entiendo que los significados cotidianos de los términos "cerrado" y "acotado" pueden indicar que "ser cerrado es una propiedad más fuerte que ser acotado" (es decir, que ser cerrado implica ser acotado), pero esto no es cierto en matemáticas. Ninguna de las dos propiedades implica la otra.

Sí, un conjunto puede estar acotado y, sin embargo, no ser cerrado. Un ejemplo típico: Consideremos el conjunto de racional números en $[1,3]$ . Este es un conjunto acotado. Consideremos ahora la secuencia de números racionales

$$x_{n+1} = \frac {x_n}{2} +\frac {1}{x_n},\;\; x_0 = 3$$

La secuencia permanece en el $[1,3]$ intervalo, pero su limitar es $\sqrt 2$ que no es racional. Así que este conjunto de racionales en $[1,3]$ es acotado pero no es cerrado, porque no contiene un punto límite de una sucesión que se pueda construir en él, permanecer en él, excepto su punto límite.

Entonces, ¿qué significa "conjunto cerrado" en matemáticas? Hay varias formas de verlo:

Un conjunto cerrado es un conjunto cuyo complemento es abierto.
Un conjunto cerrado es un conjunto que coincide con su "cierre".
Un conjunto cerrado es un conjunto que contiene todos sus puntos límite.

Pruébalos mentalmente y quédate con lo que te resulte más intuitivo.