Condiciones para una función de valor aditivo

Question

En un problema estándar de corte de la tarta de la feria hay un intervalo real que se llama "tarta", y hay que dividirlo entre $n$ socios. Cada socio $i$ tiene una función de valor subjetivo $v_i$ que es un aditivo sobre subconjuntos del pastel. Esto significa que, para cada dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ :

$$v_i(A\cup B)=v_i(A)+v_i(B)$$

Supongamos que, en lugar de una función de valor, cada socio tiene una relación de preferencia $\succeq_i$ .

Una relación de preferencia $\succeq_i$ es representado por una función de valor $v_i$ si:

$$A\succeq_i B \iff v_i(A)\geq v_i(B) $$

¿Qué propiedades de la relación de preferencia garantizan que pueda ser representada por un aditivo ¿función de valor?

NOTA: La página de Wikipedia Utilidad ordinal describe algunas condiciones bajo las cuales una relación de preferencia puede ser representada por una función de valor aditiva. Sin embargo, se trata de preferencias sobre conjuntos de bienes homogéneos. Aquí, las preferencias son sobre subconjuntos de un bien heterogéneo.

EJEMPLOS:

$$u_1(A) = \text{len}(A)^2$$

$u_1$ no es aditiva, pero la relación de preferencia que representa puede ser representada por la función aditiva $v_1(A) = \text{len}(A)$ .

$$u_2(A) = \min[\text{len}(A\cap[0,4]),\text{len}(A\cap[4,8])]$$

La relación de preferencia representada por $u_2$ no puede ser representada por una función aditiva. Prueba: supongamos por contradicción que la relación de preferencia está representada por una función aditiva $v_2$ . Entonces, porque:

$$u_2([0,1])=u_2([4,5])=u_2(\emptyset)$$

esto también debe ser cierto para $v_2$ :

$$v_2([0,1])=v_2([4,5])=v_2(\emptyset)$$

Por aditividad:

$$v_2([0,1]\cup[4,5])=v_2(\emptyset\cup\emptyset)=v_2(\emptyset)$$

Esto también debe ser cierto para $u_2$ :

$$u_2([0,1]\cup[4,5])=u_2(\emptyset)$$

una contradicción.

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial porque no se ajusta exactamente a su marco, pero espero que siga siendo útil (y es demasiado larga para un comentario).

Si te parece bien discretizar tu pastel en trozos (posiblemente arbitrariamente pequeños), entonces encontrarás una respuesta en

• Kraft, C. H., Pratt, J. W., & Seidenberg, A. (1959). Intuitive Probability on Finite Sets. The Annals of Mathematical Statistics, 30(2), 408-419.

cuyo grueso está muy bien resumido en la introducción de

• Fishburn, P. C. (1996). Probabilidad cualitativa lineal finita. Journal of Mathematical Psychology, 40(1), 64-77.

Aunque la configuración de los documentos es en términos de jugos de probabilidad, se puede reinterpretar desde el punto de vista de las preferencias de la siguiente manera :

• Un conjunto finito de objetos $S = \{1,2,\dots,n\}$ (en su problema $S$ podría contener los trozos del pastel)
• Una relación de preferencia $\succeq$ en $2^S$ el conjunto de subconjuntos de $S$ .
• La pregunta: ¿cuándo es $\succeq$ representable por una función de utilidad aditiva $U$ en $2^S$ .

Una conjetura clásica de De Finetti era que las siguientes condiciones deberían ser suficientes (aquí sigo la presentación en Fishburn (1996)):

• (Orden) : $\succeq$ en $2^S$ es una orden débil,
• (No negatividad) : $A \succeq \emptyset$ por cada $A \in 2^S$ ,
• (No trivialidad) : $S \succ \emptyset$ ,
• (Aditividad) : Para todo $A,B,C \in 2^S$ , si $(A\cup B) \cap C = \emptyset$ entonces $[A \succ B] \Leftrightarrow [(A\cup C) \succ (B\cup C)]$ .

De Finneti observó que eran necesarios, pero no pudo determinar si eran suficientes. Finalmente, Kraft, Pratt y Seidenberg (1959) proporcionaron un contraejemplo, así como una condición adicional que, junto con las otras cuatro, implicaba la existencia de una representación aditiva:

• (Aditividad fuerte) : para todo $m\geq 2$ y todos $A_j,B_j \in 2^S$ , si $(A_1,\dots,A_M)$ y $(B_1,\dots,B_M)$ contienen el mismo número de réplicas de cada elemento de $S$ (es decir, si $s_1$ aparece tres veces en todas las $A_j$ conjuntos, también aparece tres veces en todos los $B_j$ conjuntos, etc.) y $A_j \succeq B_j$ para todos $j<m$ entonces no tenemos $[A_m \succ B_m]$ .

La última condición se conoce a menudo en la literatura como la propiedad de "cancelación". Ahora bien, (Aditividad fuerte) no es la condición más intuitiva. En general, puede ser difícil de comprobar y navegar, lo que ha estimulado una gran literatura sobre la condición suficiente alternativa. Puedo enviarle una lista de lectura si está interesado. Por desgracia, no recuerdo ningún artículo que aborde directamente las preferencias sobre subconjuntos de infinito conjuntos, como su intervalo real.

Según mi experiencia con este tipo de problemas, cambiar el dominio sobre el que se definen las preferencias supone una gran diferencia en cuanto a los resultados que se obtienen y las técnicas de demostración que se pueden utilizar. Si un resultado no está ya en la literatura, rara vez es fácil derivarlo de resultados aparentemente similares en diferentes dominios.

Answer 2

Lo único que se me ocurre que puede estar relacionado con tu pregunta es el teorema de Debreu, que afirma que las preferencias que son continuas pueden representarse mediante una función de utilidad continua. Por supuesto, si la función de utilidad es continua, también lo es la función de valor. Además, creo que la monotonicidad podría desempeñar un papel.