Teorema de la envoltura en Keen y Slemrod (2017)

Question

Esta pregunta se refiere al documento "Optimal Tax Administration" de Slemrod y Keen (2017). El documento de trabajo del FMI está disponible de forma gratuita en SSRN, sin embargo, no es necesario conocer el documento para entender la pregunta.

Estoy confundido sobre cómo llegar a la ecuación (5) en la versión del documento de trabajo.

Supongamos que existe una función de bienestar:

$W(t,\alpha)= wl - tz(t,\alpha) -c(e,\alpha) - \psi(l) + v(tz(t,\alpha) -a(\alpha)) $

Aquí, $v$ es una función creciente y cóncava, $\psi$ es una función creciente y convexa, $t$ es el tipo impositivo, $\alpha$ es la aplicación de los impuestos, $c$ es el coste de evasión/cumplimiento y $z$ es la renta declarada, que depende de $t$ y $\alpha$ .

Los ingresos declarados vienen dados por $z=wl(t,w) - e(t,\alpha)$ , donde $w$ es la tasa salarial, $l$ son las horas trabajadas y $e$ es un ingreso oculto. Ambos $l$ y $e$ se derivan de forma óptima.

Las condiciones de primer orden para $l$ y $e$ están dadas por:

$(1-t)w - \psi'(l) = 0$

$t - c_e(e,\alpha) = 0$

Aquí $c_e$ denota la derivada de $c$ con respecto a $e$ y $\psi'$ es la derivada de $\psi$ .

Estoy interesado en $\frac{dW}{dt}$ .

Los autores invocan la propiedad de la envoltura para llegar a:

$\frac{dW}{dt}= -z + v'*(z + tz_t)$

Aquí $z_t$ es la derivada de $z$ con respecto a t y $v'$ es la derivada de $v$ .

¿Cómo puedo llegar a esta expresión?

Answer 1

A primera vista, parece que la respuesta debería ser $\frac{dW}{dt}= -(z + tz_t) + v'*(z + tz_t)$ , como $l$ y $e$ se eligen de forma óptima y el teorema de la envolvente anula estos términos. Además, cabe esperar que tanto $z_t$ los términos de la derivada final para que caigan debido al teorema de la envolvente. Sin embargo, uno y sólo uno $z_t$ se mantiene en los cálculos de los autores.

El teorema de la envolvente es sólo una aplicación de las condiciones de primer orden. En este caso, es mejor utilizar simplemente las condiciones de primer orden que conocemos para derivar los resultados, en lugar de utilizar el teorema directamente. Creo que los autores invocan el término "propiedad de la envolvente" para transmitir de forma concisa que están utilizando las condiciones de primer orden encontradas previamente.

Tomando la derivada total llegamos a

$\frac{dW}{dt}= wl_t -z - tz_t -c_ee' - \psi'l_t + v'*(z + tz_t)$

Insertando la expresión para $z_t$ y agrupar algunos términos que tenemos:

$\frac{dW}{dt}= l_t[w(1-t)-\psi'] + e'[t-c_e] - z + v'*(z + tz_t)$

Nótese que los términos entre corchetes son los mismos que las condiciones de primer orden para $l$ y $e$ y por tanto igual a cero. Esto nos deja con:

$\frac{dW}{dt}= - z + v'*(z + tz_t)$

Answer 2

La respuesta a este "enigma" se ha aclarado en los comentarios del post original del OP.

La cuestión es que los agentes tratan el $v$ como exógena cuando se optimiza con respecto a $l$ y $e$ mientras que el planificador social lo tiene en cuenta, naturalmente.

Pero esta es una suposición de comportamiento con consecuencias matemáticas. El Teorema de la Envoltura no permite tales asimetrías.

Apliquemos el Teorema de la Envolvente, que dice que si tenemos una función $f(x;a)$ y lo optimizamos, digamos, $x$ entonces la derivada total de la función optimizada $f(x^*,a)$ con respecto a lo que antes se trataba como parámetro es igual a la derivada parcial de la función no optimizada con respecto a ese parámetro, manteniendo la $x$ s fijo :

$$\frac {df(x^*,a)}{da} = \frac {f(x,a)}{\partial a}$$

Ahora bien, tenga en cuenta que $z$ depende de $t$ sólo a través de $l$ y $e$ . Por lo tanto, para aplicar el teorema, tenemos que el parcial derivado $\partial z/\partial t =0$ .

Teniendo esto en cuenta, escribamos

$$W = H + v$$

donde $H$ contiene todos los demás términos. Como el OP mostró en su respuesta tenemos

$$\frac{dW}{dt}= l_t[w(1-t)-\psi'] + e'[t-c_e] - z + \frac{dv}{dt}$$

y teniendo en cuenta el f.o.c para $l$ y $e$ dado los supuestos de comportamiento relacionados con $v$ nos quedamos con

$$\frac{dW}{dt}= \frac{dH}{dt} + \frac{dv}{dt} = -z + \frac{dv}{dt}$$

$$\implies \frac{dH}{dt} = -z$$

¿Se ajusta esto al Teorema de la Envoltura? Lo hace, con respecto a $H$ sólo porque esta es la parte de $W$ sobre el que maximizamos con respecto a $l$ y $e$ . Y tenemos

$$\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial (-tz)}{\partial t} = -z$$

ya que como hemos dicho, $\partial z/\partial t =0$ .

Así que no debemos ver el parcial de $z$ en la primera posición en cualquier caso, mientras que la aparición de $dz/dt$ en relación con $v$ aparece sólo porque lo hemos ignorado en la maximización con respecto a $l$ y $e$ .

Si los agentes optimizan teniendo en cuenta $v$ también habríamos obtenido

$$\frac{dW}{dt} = -z + v'\cdot z$$

y el Teorema de la Envolvente se cumpliría para todo el $W$ función.