¿Por qué se utiliza la derivada para representar el coste marginal en lugar de la diferencia?

Question

Coste marginal se define como "el cambio en el coste total que surge cuando la cantidad producida se incrementa en una unidad". Y dada una función de coste total $C(q)$ que es diferenciable, el coste marginal es la derivada, $C'(q)$ . Pero si me dieran $C$ y preguntó el coste que surge cuando se aumenta la cantidad producida de 2 a 3, simplemente calcularía $C(3)-C(2)$ no es necesario introducir el cálculo en el cuadro. En general, $ C(3)-C(2) \neq C'(2)$ . Por ejemplo, si $C(q) = q^2$ entonces $C(3)-C(2) = 5$ pero $C'(2) = 4$ .

Por lo tanto, mi pregunta es: ¿Por qué se utiliza la derivada para representar el coste marginal en lugar de la diferencia?

Nota: He pensado que esta pregunta debe ser la que se hace aquí pero evidentemente no; allí lo que se pregunta es (esencialmente) por qué $C'(3) \neq C(3)-C(2)$ .

Answer 1

La derivada se utiliza en algunos contextos, pero no en todos, cuando la función de costes es diferenciable. En esos contextos, se tiende a suponer que la oferta es continua, no discreta. Esto es una cuestión de convención y de conveniencia analítica. Tiene la ventaja de ser coherente, tanto si se aborda el punto de suministro desde arriba como desde abajo.

Pero en otros contextos, dada su función de costes, suponiendo que la cosa que se suministra es discreta y no continua (es decir, es posible suministrar 2 unidades o 3 unidades, pero no 2,9 o 3,5 o cualquier otra unidad fraccionaria) entonces el coste marginal del tercer artículo es efectivamente 5, no 4.

Answer 2

Para ayudarte a discernir los dos, vamos a intentar explicar con palabras y entender qué información obtenemos de la derivada y de la diferencia, respectivamente:

1. El derivado le da información sobre el cambio en el coste en relación con el cambio en cantidad producida en un punto específico, local, (cantidad) 1 . En otras palabras, se mide la variación del coste en función de la variación de la cantidad. De forma más matemática, la derivada del coste con respecto a la cantidad da la tasa de cambio del coste sobre la tasa de cambio de la cantidad o la pendiente de la curva de costes .

2. La diferencia entre dos puntos (cantidades) de la curva de costes: $C(3) C(2) = 5$ le da la diferencia relativa de precio sólo de esos dos puntos, sin tener en cuenta todos los valores intermedios 2 . De nuevo, de forma más matemática, la diferencia sólo te da la distancia en el precio entre los dos puntos(cantidades).

Para concluir, la diferencia entre ambos es la información que te dan, es decir:

• derivada: tasa de variación del coste en términos de cantidad.

• diferencia: diferencia entre el coste total de dos cantidades.

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1. En su ejemplo, el coste marginal para la cantidad: $2$ dada la función de coste total: $C(q) = q^2$ es: $C(2) = 4$ lo que significa que si está produciendo actualmente 2 artículos, el siguiente artículo aumentará el coste con $4$ unidades .

2. La relación $C(3) C(2) = 5$ significa que el coste total de producir 3 artículos es 5 unidades más que el coste total de producir 2 artículos .

Answer 3

La función $C(q) = q^2$ es no lineal, por lo que la tasa de cambio de $C(q)$ con respecto a q cambia constantemente.

Cuando se toma $\frac{C(3)-C(2)} {3-2}$ se encuentra la tasa de cambio en un rango de $q$ y no la tasa de cambio en $q = 3$ .

Aquí es donde se necesita tomar una derivada, porque te da la tasa de cambio en el punto $(q,C)$ como el cambio en $q$ se acerca a $0$ en lugar de una media de la tasa de cambio para cada $q$ valor de $2 \leq q \leq 3$ .