Límite de la función de utilidad en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Question

He dado la función de utilidad para el modelo Ramsey-Cass-Koopmans, como sigue:

$$ u(c_t)=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} $$

La afirmación es que como $\theta \rightarrow 1$ entonces la función es logarítmica, es decir

$\lim_{\theta\to 1} u(c) = ln(c)$

Me dijeron que usara la regla de L'hôpital, pero no consigo entenderla.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Gracias

Answer 1

La respuesta de @tdm te muestra cómo se hace utilizando la regla de De L'Hospital. Si quieres evitar esta regla puedes escribir $u(c)=\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta}$ y observe que para $\theta\ne 1$ esto implica $u(1)=0$ . Diferenciando con respecto a $c$ entonces le da $u'(c)=c^{-\theta}$ y por lo tanto $\lim_{\theta \to 1}u'(c)=c^{-1}$ . A continuación, integrar de nuevo para obtener $\lim_{\theta \to 1}u(c)=\ln(c)+K$ y comparando para $c=1$ le da $K=0$ Así que $\lim_{\theta \to 1}u(c)=\ln(c)$ .

Answer 2

La derivada de $a^{x}$ con respecto a $x$ es igual a $a^x \ln(a)$ .

Así, utilizando la regla de la cadena, la derivada de $c^{1-\theta}$ con respecto a $\theta$ es igual a $c^{1-\theta} \ln(c) (-1)$

L'Hospital da:

$$ \lim_{\theta \to 1} \frac{c^{1-\theta}-1}{1 - \theta}\\ = \lim_{\theta \to 1} \frac{(c^{1-\theta}-1)'}{(1-\theta)'},\\ = \lim_{\theta \to 1} \frac{c^{1-\theta} \ln(c) (-1)}{(-1)},\\ = \frac{c^0 \ln(c)}{1} = \ln(c). $$