Por lo tanto, no se trata de resolver ningún tipo de problema, sino de la intuición que hay detrás del concepto. Me preguntaba si en el punto óptimo en el que la curva de indiferencia es tangente a la línea presupuestaria y la utilidad se maximiza, digamos, en algún punto A. Si se traza una línea vertical desde A hasta el eje horizontal, y luego se traza una línea horizontal desde A hasta el eje vertical, ¿tendría el rectángulo resultante un área mayor que cualquier otro rectángulo creado por los otros puntos de la curva? ¿Es una especie de intuición detrás de la regresión por mínimos cuadrados, pero tratando de maximizar el área? Gracias de antemano por cualquier ayuda.
Respuestas
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No. Esto no es cierto en general.
La maximización del rectángulo formado de la manera descrita maximizaría el producto $x_1 \times x_2$ . En el caso especial de que su función de utilidad adopte la forma $u(x_1,x_2)=x_1x_2$ La maximización de la utilidad implica que elijas un punto de tu restricción presupuestaria en el que se maximice el rectángulo que has descrito.
Supongamos, sin embargo, que su función de utilidad viene dada por $v(x_1,x_2)=x_1^{1/3}x_2^{2/3}$ Y suponga que actualmente está maximizando $x_1 \times x_2$ en su límite presupuestario. Supongamos que $p_1=p_2=1$ , entonces la maximización de $x_1 \times x_2$ implica $x_1^*=x_2^*$ . Sin embargo, maximizar $v$ con estos precios da: $x_1^*=\frac{1}{2}x_2^*$ . Así, no se maximiza el rectángulo sujeto a su restricción, pero se define un punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria.
Ben
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129
Esto no es cierto en general.
Incluso es posible que el punto de maximización de la utilidad minimiza el área del rectángulo, de los rectángulos definidos por los puntos de la curva de indiferencia que es tangente a la línea presupuestaria. Supongamos, por ejemplo, que la función de utilidad es $u(x_1,x_2)=(x_1-1)(x_2-1)$ y la línea presupuestaria es $4-x_1-x_2=0$ . Como ambas funciones son simétricas en $x_1$ y $x_2$ podemos esperar que la maximización de la utilidad requiera $x_1=x_2$ y desde la línea presupuestaria esto implica $x_1=x_2=2$ . En este punto: $$u(x_1,x_2)=(2-1)(2-1)=1$$ Para confirmar que se trata de un máximo de utilidad y no de un mínimo, podemos observar que el punto cercano de la línea presupuestaria $x_1=2.1$ y $x_2=4-2.1=1.9$ implica:
$$u(x_1,x_2)=(2.1-1)(1.9-1)=(1.1)(0.9)=0.99<1$$
El área del rectángulo definido por el punto de maximización de la utilidad es $x_1x_2=2(2)=4$ . Para ver que esta área es un mínimo, de los rectángulos definidos por los puntos de la curva de indiferencia en los que $u(x_1,x_2)=1$ Supongamos primero que $x_1=3$ . Para encontrar el valor correspondiente de $x_2$ en el que $u(x_1,x_2)=1$ que tenemos:
$$(3-1)(x_2-1)=1$$
$$x_2=3/2$$
y por lo tanto el área del rectángulo es:
$$x_1x_2=3(3/2)=4.5>4$$
Del mismo modo, si $x_1=4$ encontramos $x_2=4/3$ y por lo tanto $x_1x_2\approx5.33>4$ . Así, cuanto más $x_1$ es mayor que $x_2$ el área del rectángulo será mayor que $4$ . Por simetría se aplicará lo mismo cuando $x_2>x_1$ .
