Definición adecuada del juego de forma extensiva

Question

Considere el siguiente juego: Sea $N := \{1,2,3,4\}$ denotan un conjunto de agentes. Pasando de 1 a 4, cada agente puede decidir cuántos de los restantes quiere integrar en una coalición. Los conjuntos de estrategias vienen dados por $S_1 := \{1,2,3,4\}$ , $S_2 := \{1,2,3\}$ , $S_3 := \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ y $S_4 := \{(1,1,1)\}$ . Quiero generalizar el juego para $|N| = n$ . Así que básicamente el agente 1 elige un número $s_1 \in N$ . Entonces, el agente $1 + s_1$ elige un número $s_{1+s_1} \in \{1,\ldots,n-s_1\}$ y así sucesivamente. Eventualmente existe un agente que integra a todos los agentes restantes $\exists j \in N : s_j = 1+n-j$ .

• ¿Cuál es la definición correcta de este sencillo juego? ¿Cuáles son los juegos de estrategia?

Answer 1

Sea el conjunto de jugadores $N=\{1,\dots,n\}$ .

Según he entendido su descripción del juego, considero que las siguientes afirmaciones son ciertas:

• Cada jugador elige un número de jugadores a integrar, no de jugadores con identidades específicas. En consecuencia, el jugador que hace la elección puede o no estar incluido en la coalición.
• Cada jugador tiene que elegir al menos 1 jugador, si todavía está disponible.
• Cada jugador mueve exactamente una vez.
• El juego es con información perfecta.

Según esta interpretación, el jugador $i$ 's ( $i\ge2$ ) el espacio de acción sería $A_i=\{0,1,\dots,n+1-i\}$ como, en principio, $i$ podría elegir como máximo $n+1-i$ otros jugadores (cuando todos los jugadores $j<i$ eligió $1$ ) y al menos $0$ (cuando todos los jugadores anteriores hayan agotado la lista de jugadores). Una excepción se aplica al primer jugador, donde la opción $0$ no es factible. Por lo tanto, $A_1=\{1,\dots,n\}$ .

El espacio estratégico del jugador 1 sería $S_1=\{1,\dots,n\}$ . El jugador 2 sería $S_2=\{1,\dots,n-s_1\}$ ya que después de $s_1$ los jugadores son elegidos por el jugador 1, sólo hay $n-s_1$ jugadores que quedan para ser elegidos por el jugador 2. Siguiendo este argumento, el jugador $i$ El espacio estratégico de la empresa sería $S_i=\{1,\dots,n-s_1-\cdots-s_{i-1}\}$ .

Generalizando a partir del razonamiento anterior y teniendo en cuenta los casos límite, dejemos que la historia en la etapa $i$ sea $h^i=(s_0,s_1,\dots,s_{i-1})$ en la que fijamos $s_0=0$ . (En general, sin embargo, las etapas deben ser indexadas por un parámetro diferente del índice del jugador. Pero en su juego, dado que cada jugador se mueve exactamente una vez, podemos utilizar el mismo índice para las etapas así como para los jugadores para economizar la notación). El espacio estratégico dependiente de la historia para el jugador $i$ sería por lo tanto \begin {Edición} S_i(h^i)= \begin {casos} \{1, \dots ,n- \sum_ {j=0}^{i-1}s_j\} & \text {si } n- \sum_ {j=0}^{i-1}s_j \ge 1 \\ \{0\} & \text {de lo contrario}. \end {casos} \end {Ecuación}

Answer 2

Estuve releyendo detenidamente el documento subyacente (Bloch, 1996) y encontré lo que buscaba. Dejemos que $N = \{1,\ldots,n\}$ denota el conjunto de agentes y deja que $\Pi_{\{1, \ldots, i-1\}}$ denotan el conjunto de estructuras de coalición de $\{1, \ldots, i-1\}$ para todos $i \in \{2,\ldots,n\}$ . Una estrategia en el juego del tamaño de la coalición es un mapeo $s_i : \Pi_{\{1, \ldots, i-1\}} \to \{1, \ldots, n-(i-1)\}$ para todos $i \in \{2,\ldots,n\}$ . Más información: $s_1 \in N$ .

Ejemplo con $n=4$ . Abusando un poco de la notación (ahorrando corchetes) obtenemos \begin {align} &s_1 \in \{1,2,3,4\} \\ &s_2:\{1\} \to \{1,2,3\} \\ &s_3:\{\{1,2\},\{12\}\} \to \{1,2\} \\ &s_4:\{\{1,2,3\},\{12,3\},\{1,23\},\{123\}\} \to \{1\} \end {align}

Bloch (1996): "Formación secuencial de coaliciones en juegos con externalidades y división fija de los pagos", GEB