Confusión sobre la representación de los precios ex-ante y ex-post

Question

Esta va a ser una pregunta muy sencilla, pero me confunde. La fórmula básica de fijación de precios es $p_t=E^p_t(m_{t+1}X_{t+1})$ , donde $p$ es la medida física. También podemos decir que $R_{t+1}=\frac{X_{t+1}}{p_{t}}$ ex-post. Esto es sólo la definición de los rendimientos. Esto significa que $E^l_t(R_{t+1})=\frac{E^l_t(X_{t+1})}{p_t}$ y por lo tanto $p_t=\frac{E^l_t(X_{t+1})}{E^l_t(R_{t+1})}$ . Esto es con respecto a cualquier medida $l$ incluyendo la medida física (es sólo una media ponderada). Si elegimos $l=p$ (la medida arbitraria igual a la medida física) entonces, por unicidad del SDF podemos decir que $m_{t+1}=\frac{1}{E_t^p(R_{t+1})}$ . Obviamente debe haber algo mal en este razonamiento, ya que concluye que $m_{t+1}$ no es aleatorio en el tiempo. Creo que el problema debe ser un ex-post vs. ex-ante tipo de cosa, básicamente tomando la medida arbitraria expectativa en la tercera línea no es tan simple como parece, pero me preguntaba si alguien tenía una mejor explicación.\ ~.

Esto me pareció especialmente confuso porque mi comprensión del modelo básico de flujo de caja descontado en las finanzas corporativas proviene del $p_t=\frac{E^l_t(X_{t+1})}{E^l_t(R_{t+1})}$ expresión. Pero debe haber alguna razón por la que esta expresión sólo tiene sentido económico si la medida arbitraria es la medida neutral al riesgo.

Answer 1

Para conseguir la singularidad del SDF, se necesitan mercados completos. En un mundo con $n$ posibles resultados, los mercados completos requerirían $n$ valores linealmente independientes. Sin mercados completos, el SDF no es único.

Ejemplo sencillo: 2 resultados posibles, 1 seguridad

Imagina que hay dos estados del mundo y represento las medidas de probabilidad y las variables aleatorias como vectores bidimensionales. Sea:

$$\mathbf{p} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$\mathbf{m}^{(a)} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{m}^{(b)} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}$$

Imaginemos el precio de la seguridad $x$ es 1. Ambos $\mathbf{m}^{(a)}$ y $\mathbf{m}^{(b)}$ valorar correctamente el valor ya que $\sum_i p_i m^{(a)}_i x_i = \sum_i p_i m^{(b)}_i x_i = 1$ .