Una función de utilidad $U$ cuya función de aversión al riesgo relativo correspondiente es una función lineal y creciente que satisface la ecuación diferencial
$$-x\frac{U''(x)}{U'(x)}=ax+b$$
para algunas constantes $a>o$ y $b\in \mathbf{R}$
Demostrar que
$$U(x)=c \int _0 ^x t^{-b}e^{-at} dt$$ donde $c>0$ es una constante arbitraria.
He masajeado la ecuación para que sea amigable.
$$-x \frac{d^2U}{dx^2}=(ax+b)\frac{dU}{dx}$$
Dejar $\frac{dU}{dx}=v$
$$-x \frac{dv}{dx}=(ax+b)v$$
$$x \frac{dv}{dx}+axv=-bv$$
I.F
$$e^{\int (ax) dx}=e^{a\frac{x^2}{2}}$$
$$\therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=b\int e^{a\frac{x^2}{2}} dx$$
$$\therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=ba^2x e^{a\frac{x^2}{2}}+C$$
$$v=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}}$$
$$\frac{dU}{dx}=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}}$$
$$u=ba^2\frac{x^2}{2}+C\int e^{-a\frac{x^2}{2}} dx$$
Pero la respuesta es
$$U(x)=c\int^c_0 t^{-b}e^{-at}dt$$
No puedo entender dónde está el $t$ viene a sentarse en la ecuación.
