Diferenciación de la aversión al riesgo basada en la teoría de la utilidad

Question

Una función de utilidad $U$ cuya función de aversión al riesgo relativo correspondiente es una función lineal y creciente que satisface la ecuación diferencial

$$-x\frac{U''(x)}{U'(x)}=ax+b$$

para algunas constantes $a>o$ y $b\in \mathbf{R}$

Demostrar que

$$U(x)=c \int _0 ^x t^{-b}e^{-at} dt$$ donde $c>0$ es una constante arbitraria.

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He masajeado la ecuación para que sea amigable.

$$-x \frac{d^2U}{dx^2}=(ax+b)\frac{dU}{dx}$$

Dejar $\frac{dU}{dx}=v$

$$-x \frac{dv}{dx}=(ax+b)v$$

$$x \frac{dv}{dx}+axv=-bv$$

I.F

$$e^{\int (ax) dx}=e^{a\frac{x^2}{2}}$$

$$\therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=b\int e^{a\frac{x^2}{2}} dx$$

$$\therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=ba^2x e^{a\frac{x^2}{2}}+C$$

$$v=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}}$$

$$\frac{dU}{dx}=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}}$$

$$u=ba^2\frac{x^2}{2}+C\int e^{-a\frac{x^2}{2}} dx$$

Pero la respuesta es

$$U(x)=c\int^c_0 t^{-b}e^{-at}dt$$

No puedo entender dónde está el $t$ viene a sentarse en la ecuación.

Answer 1

$$-x \frac{d^2U}{dx^2}=(ax+b)\frac{dU}{dx}$$

Dejar $\frac{dU}{dx}=v$

$$-x \frac{dv}{dx}=(ax+b)v$$

Reorganización de

$$-\frac{1}{v} dv=\left(a+\frac{b}{x}\right)dx$$

$$-\int(\ln{v}) dv= \int \left(a+\frac{b}{x}\right) dx$$

$$v=C e^{-ax}x^b$$

Dónde $C$ es una constante. Al tomar $t$ como variable ficticia.

$$U(x)= C\int ^x_0e^{-at}t^{-b}\, dt$$