La siguiente pregunta, que no es una tarea, la he sacado de un trabajo pasado de un módulo al que pronto me presentaré:
Consideremos un mercado estocástico Black-Merton-Scholes con deriva $\mu = 1$ , la volatilidad $\sigma^2 = 1$ y el tipo de interés $r = 0$ . En este mercado existe una opción europea con un vencimiento determinado $T > 0$ y un pago $$ \sqrt{1 + \left( \frac{T}{2} + \ln S_T \right)^2} $$ donde S representa el precio de las acciones. Suponiendo que $S_0 = 1$ El precio de esta opción no puede ser superior a $\sqrt{1 + T}$ .
Me cuesta responder a esta pregunta. Mi intento hasta ahora es el siguiente:
En primer lugar, dado que estamos considerando el precio de las acciones según el modelo de mercado BMS, I creer que $S_t$ estará dada por $$ S_t = S_0 \exp \left( \left( r - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t \right) = \exp \left( - \frac{t}{2} + W_t \right) $$ Así, denotando por $V_t$ el valor de esta opción en el momento $t$ tenemos $$ V_t = \sqrt{1 + \left( \frac{t}{2} + \ln S_t \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \frac{t}{2} + \left( - \frac{t}{2} + W_t \right) \right)^2} = \sqrt{1 + W_t^2} $$ y el precio de esta opción en $t=0$ vendría dada, por tanto, por $$ V_0 = e^{-rT} \mathbb{E} [V_T] = \mathbb{E} \left[ \sqrt{1 + W_T^2} \right] $$
Suponiendo que estoy en lo cierto hasta ahora, ahora tengo que demostrar que $$ \mathbb{E} \left[ \sqrt{1 + W_T^2} \right] \leq \sqrt{1+T} $$ ¿Cómo puedo hacerlo?
