Considere un $2*2$ economía de intercambio en la que el individuo $1$ tiene una dotación $(4,5)$ y el individuo 2 tiene una dotación $(6,5)$ . Las funciones de utilidad de los individuos están representadas por $U({x}_i{y}_i)$ = ${x}_i{y}_i$ donde $i$ se refiere al individuo $1$ o $2$ . Sé que las asignaciones que equivalen a $MRS$ para ambos individuos serían las asignaciones óptimas de Pareto. Sin embargo, parece que estoy muy confundido con respecto a las dotaciones. No puedo encontrar una asignación que sea Pareto Superior a las dotaciones. Además, la dotación (si es, de hecho, Pareto Óptima) no satisface la igualdad de $MRS$ condición. ¿Es cierto que la igualdad de $MRS$ ¿no es una condición necesaria para la optimización de pareto? Se me ocurren ejemplos, como las Preferencias Lexicográficas, que dan lugar a puntos de Pareto Eficiente sin la condición de ${MRS}_i=$$ {MRS}_j$ . Creo que me estoy perdiendo algo. Mis conceptos parecen bastante inestables, así que por favor, tened paciencia conmigo.
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Dadas las dotaciones Individuo 1 : $(4,5); U(4,5) = 20$ y el individuo 2 : $(6,5); U(6,5)=30$
Dado que no hay más de y 10 unidades del bien X y 10 unidades del bien Y en la economía. Si asigno al individuo 1 una con $X$ unidades de la mercancía X y $Y$ unidades de la mercancía Y, entonces el individuo 2 tiene $(10-X)$ unidades de la mercancía X ( $10-Y$ ) unidades del bien Y.
Ahora, el conjunto de asignaciones superiores de Pareto para las dotaciones dadas, si existen, satisfarán estas dos desigualdades no lineales simultáneas.
$ XY \geq 20$ Región roja
$ (10-X)(10-Y) \geq 30$ Región azul 
Trazando gráficamente estas desigualdades observamos: La pequeña región común que se ve entre las áreas rojas y azules es en realidad el conjunto infinito de todas las asignaciones superiores de Pareto a la dotación dada.
Ahora nuestro trabajo es encontrar aquella asignación que sea óptima de Pareto, es decir, que la región común en forma de lente convexa no debe estar presente.
Este punto podría alcanzarse cuando ambas curvas son tangentes entre sí.
Que se requieren Pareto óptimo asignaciones eficientes/superiores.
Existe una asignación Pareto Superior, puesto que ya sabes que $MRS_1=MRS_2$ que da la ecuación $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$ .
Considere una asignación para el individuo-1, $(\sqrt{20},\sqrt{20})$ que da la misma utilidad al individuo-1 que su dotación de $U_1=20$ mientras que el fardo del individuo-2 será $(10-\sqrt{20},10-\sqrt{20})$ . La utilidad del individuo-2 en este paquete será $U_2=$$ (10- \sqrt {20})^2>30$ . Este paquete es pareto superior al paquete de dotación.
Por lo tanto, la dotación no es eficiente de Pareto, como se ha señalado correctamente, ni siquiera satisface la $MRS$ condición en caso de estándar agradable y suave $ICs$ .
