Ayuda con el ejercicio de la función de utilidad CES

Question

Intento resolver el siguiente problema de función de utilidad CES:

Sin embargo, me encuentro con problemas cuando llego a la 3).

Para 1) Tengo $K = \left(\frac{\omega p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{p+1}}$

Para 2) obtengo $X_2^M = \frac{m}{\frac{p_1}{K}+p_2} $

Para 3) encuentro $\lambda^* = (K^\rho + \omega)^{-\frac1p-1} \cdot \omega \cdot p_2^{-1} $

y $v(p_1, p_2, m) = \left(\left(\frac{m}{p_1+Kp_2}\right)^{-\rho} + \omega(\frac{mK}{p_1+Kp_2})^{-\rho}\right)^{-1/\rho}$

A continuación, divido $\lambda^*$ por $v(p_1, p_2, m)$ pero cuando lo hago no consigo anular del todo $p_1,p_2,m,K$ y $\rho$ que creo que tendría que hacer para demostrar que son proporcionales. No estoy seguro de si el problema es con mi $\lambda^*$ Mi $v(p_1,p_2,m)$ o ambos...

Además, para 6) ¿cómo se demuestra la homogeneidad de un grado determinado?

Answer 1

Para la pregunta 3, seguro que hay soluciones más sencillas que la mía. Proporciono esta versión para su referencia.

Por definición, \begin {align} \lambda ^* &= \frac { \frac { \partial u}{ \partial x_1}(x_1^M)}{p_1} = \frac { \left [(x_1^M)^{- \rho }+ w(x_2^M)^{- \rho } \right ]^{- \frac {1}{ \rho }-1}(x_1^M)^{-( \rho +1)}}{p_1} \\ \\ v(p_1,p_2,m) &= u(x_1^M(p_1,p_2, m), x_2^M(p_1, p_2, m)) \\ & = \left [(x_1^M)^{- \rho }+ w(x_2^M)^{- \rho } \right ]^{- \frac {1}{ \rho }} \end {align} Así que \begin {align} \lambda ^* &= v(p_1,p_2,m) \frac {1}{p_1 \left [(x_1^M)^{- \rho }+ w(x_2^M)^{- \rho } \right ](x_1^M)^{ \rho +1}} \\ &= v(p_1,p_2,m) \frac {1}{p_1 \left [x_1^M+ w \left ( \frac {x_1^M}{x_2^M} \right )^{ \rho +1}x_2^M \right ]} \\ & = v(p_1,p_2,m) \frac {1}{p_1 \left [x_1^M+ w \left ( \frac {1}{ \kappa } \right )^{ \rho +1}x_2^M \right ]} \end {align} Introduzca la expresión para $\kappa = \left(\frac{wp_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\rho+1}}$ a la ecuación anterior, tenemos

\begin {align} p_1 \left [x_1^M+ w \left ( \frac {1}{ \kappa } \right )^{ \rho +1}x_2^M \right ] &= p_1 \left [x_1^M+ w \frac {p_2}{wp_1}x_2^M \right ] \\ & = p_1x_1^M + p_2x_2^M \\ & = m \end {align} así que $$\lambda^* = \frac{v(p_1,p_2,m)}{m}$$

Para mostrar una función $F(x_1, x_2, ... x_n)$ es homogénea de grado $k$ Simplemente hay que demostrar que $$F(kx_1, kx_2, ...kx_n) = \lambda^kF(x_1, x_2, ... x_n)$$ Para $\forall \;\lambda>0$