Si una llamada puede expirar OTM, ¿por qué una \$1 increase in the underlying's price necessarily increase the call's price by \$ 1?

Question

Zvi Bodie, Alex Kane, Alan J. Marcus. Inversiones (2018 11 edn) . p 723 escaneado .

      La figura 21.9 verifica que la pendiente de la función de valoración de la opción de compra es inferior a 1,0, Se acerca a 1,0 sólo cuando el precio de las acciones es mucho mayor que el precio de ejercicio. Este nos indica que los valores de las opciones cambian menos de uno por uno con los cambios en los precios de las acciones. ¿Por qué ¿Por qué? Supongamos que una opción está tan bien pagada que estamos absolutamente seguros de que se ejercerá. de que será ejercida. En ese caso, cada incremento de un dólar en el precio de las acciones aumentaría el valor de la opción en 1 dólar. Pero si hay una posibilidad razonable de que la opción de compra expire fuera del dinero, incluso después de un aumento moderado del precio de las acciones, un aumento de 1$ en el precio de las acciones no necesariamente de la acción no aumentará necesariamente el beneficio final de la opción de compra; por lo tanto, el precio de la opción de compra no responderá en un dólar completo .

¿Por favor, explique el motivo? Los autores no han explicado todas las razones. Si una llamada tiene la posibilidad de expirar OTM

1. ¿por qué un aumento de 1$ en el precio del activo subyacente no va a "aumentar necesariamente el pago final de la opción de compra"?

2. ¿por qué el precio de la llamada no aumenta un dólar completo?

Answer 1

La razón por la que el precio de una opción de compra no aumenta uno a uno con el precio al contado de la acción subyacente es sencilla: Un aumento de 1 dólar en el precio de la acción sólo aumenta el probabilidad que la opción será ITM. Es no una garantía de aumento de 1 dólar en el pago al vencimiento. Naturalmente, el precio de la opción de compra no aumenta en 1 dólar.

Más concretamente, el precio de la llamada debería aumentar en el probabilidad que la opción será ITM, que es menos de 1. Este hecho es independiente del modelo. (Pruebe a comprar opciones de compra a un dólar más el precio actual cada vez que el subyacente aumente un dólar, y vea lo que ocurre).

En consecuencia, cualquier El modelo de precios de las opciones tendrá esta propiedad. Consideremos, por ejemplo, dos modelos básicos: el árbol binomial y el modelo Black-Scholes.

Árbol binomial

Supongamos que el precio de las acciones hoy es $S$ . Mañana el precio de las acciones puede ser $S+\Delta S$ con probabilidad $q$ y $S-\Delta S$ con probabilidad $1-q$ .

El precio $C$ de una opción de compra europea con strike $K > S - \Delta S$ es, por tanto, igual a la retribución esperada $(S + \Delta S - K)q$ .

(Para ser correctos, asumiendo la tasa libre de riesgo $r$ , $q$ debe ser la probabilidad neutra de riesgo dada por $$ q e^{-r} (S + \Delta S) + (1- q) e^{-r} (S - \Delta S) = S. $$ Pero esto no es el centro de la discusión. )

Si $S$ aumenta a $S + 1$ el precio de la llamada se convierte en $C = (S + 1 + \Delta S - K)q$ . El aumento del precio de la llamada es exactamente la probabilidad $q$ de que la llamada sea ITM.

Black-Scholes

En el contexto del Black-Scholes la sensibilidad del precio de la opción con respecto al subyacente se denomina delta de la opción. Es una cantidad estándar que surge en cobertura delta .

Dejemos que $C(S_0, K)$ denota la fórmula de Black-Scholes para el precio de la opción de compra europea con strike $K$ maduración en el momento $T$ . El delta de la llamada es la derivada parcial $\frac{\partial C}{\partial S_0}$ . El delta es el aumento de $C(S_0, K)$ cuando $S_0$ aumenta en 1 dólar.

Como era de esperar, de la fórmula de Black-Scholes se desprende que el delta $\frac{\partial C}{\partial S_0}$ es igual a la probabilidad (neutral al riesgo) de que la opción sea ITM al vencimiento.

(En Black-Scholes, bajo una dinámica neutral al riesgo, el precio de la acción $S_T$ al vencimiento $T$ viene dada por $$ S_0 e^{( r + \frac12 \sigma^2 )T + \sigma \sqrt{T} N} $$ donde $N$ es una variable aleatoria normal estándar. Así que $\frac{\partial C}{\partial S_0}$ es igual a $$ P( S_0 e^{( r + \frac12 \sigma^2 )T + \sigma \sqrt{T} N} > K) $$ donde $N$ es una variable aleatoria normal estándar. )

Answer 2

Si la huelga de la llamada es \$20, a call option at expiry will be worthless for any stock price less than \$ 20. Por tanto, no hay aumento de valor si el precio al vencimiento es \$15 instead of \$ 14.

Antes del vencimiento, esto se traduce en que la delta de la opción es inferior a uno, lo que implica que el valor de la opción de compra aumenta menos que la subida del precio.