Teorema del hiperplano de apoyo y función de utilidad cuasicóncava

Question

Mis notas dicen que si $u(.)$ es estrictamente cuasicóncava y diferenciable, por el teorema del hiperplano de apoyo, existe $p >>0$ y $w \geq 0$ tal que $ x = x(p,w)$ $\forall x$ . Me cuesta un poco entender esto. Esto es lo que pienso:

$u(.)$ cuasicóncavo, por lo que el conjunto $X = \{x \in R^L: x \succeq x_0\}$ es convexo. También sabemos que $u(.)$ es diferenciable, y por tanto continua, por lo que $X$ está cerrado. Así, $x_0$ está en el límite de $X$ . Entonces, según el teorema, hay alguna $p$ de manera que si $x \succeq x_0$ entonces $p.x > p.x_0$ Esto significa que con esta $p$ y $w = p.x_0$ , $x_0 = x(p,w)$ .

¿Es correcto lo que he entendido? Además, si el conjunto $X$ es estrictamente convexo, ¿significa eso que el teorema es ahora "si $X$ es un conjunto convexo y $x_0$ es un punto en la frontera de $X$ debe existir un $p$ tal que $p.x > p.x_0 \forall x \in X$ y no $\geq$ ?

Answer 1

Este problema es bastante específico de la economía. La afirmación correcta es:

Propuesta Si $u(\cdot)$ es cuasicóncava, estrictamente creciente y continua, entonces $\forall x$ existe $p \gg 0$ y $w \geq 0$ tal que $x \in x^*(p, w)$ , donde $x^*(p, w)$ es la correspondencia de la demanda marshalliana.

Prueba

Cuasicavidad de $u$ significa el conjunto de contorno superior $\succeq\!\!(x) = \{x': u(x')\geq u(x)\}$ de paquetes débilmente preferidos sobre $x$ es convexo.

Por la continuidad de $u$ , $\succeq\!\!(x)$ está cerrado.

Por monotonicidad estricta de $u$ , $x$ se encuentra en el límite de $\succeq\!\!(x)$ . Consideremos el hiperplano de apoyo $p\cdot (x' - x) = 0$ del conjunto convexo cerrado $\succeq\!\!(x)$ en el punto límite $x$ con el vector normal $p$ . Desde $u$ es creciente, entonces podemos tomar $p \gg 0$ .

Desde $\succ\!\!(x) \subset \{ p\cdot (x' - x) > 0 \}$ (relación general entre el interior de un conjunto convexo y un semiespacio dado por un hiperplano de apoyo), $x \in x^*(p, \,p\cdot x)$ . $\Box$

La diferenciabilidad no es necesaria. Si $u$ es estrictamente cuasicóncava, la correspondencia de demanda marshalliana es una función, y $x = x^*(p, w)$ . El argumento anterior también nos dice que $x \in x^*( p, \, e(p, u(x)) )$ , donde $e(p, u)$ es el gasto mínimo necesario para alcanzar el nivel de utilidad $u$ precio determinado $p$ .

Preguntas

Q "... $x$ se encuentra en el límite de $\succeq\!\!(x)$ ..."

A Por definición, $x$ se encuentra en el límite de $\succeq\!\!(x)$ si toda vecindad abierta de $x$ contiene algunos $x' \in \succeq\!\!(x)$ y algunos $x'' \in \prec\!\!(x)$ . Si $u$ es estrictamente creciente, esto está claro. Toda vecindad abierta de $x$ contiene algunos $x' \gg x$ y algunos $x'' \ll x$ .

Q "Desde $u$ es creciente, entonces podemos tomar $p \gg 0$ ."

A Supongamos que $p \geq 0$ pero tiene una entrada cero, digamos la primera. Sea $e_1$ sea el vector base estándar con 1 en la primera entrada y cero en el resto. Entonces $x + \alpha e_1$ se encuentra en $\succeq\!\!(x)$ para cualquier $\alpha \geq 0$ ya que $u$ está aumentando. La cuasicavidad estricta de $u$ implica entonces que $x + \alpha' e_1 \succ\!\!(x) $ para algunos $\alpha' > 0$ (toma una combinación convexa en esta media línea). Esto significa que el plano con vector normal $p$ no puede ser tangente a $\succeq\!\!(x)$ ---este plano interseca el interior $\succ\!\!(x)$ .