Bonos de cupón cero de inicio anticipado

Question

Lo tenemos trivialmente:

$$\frac{Z(t_0,t_1)}{Z(t_0,t_2)}=1+\tau L(t_0,t_1,t_2)$$

Dónde $L(t_0,t_1,t_2)$ es el Libor a plazo entre $t_1$ y $t_2$ A partir de $t_0$ .

Simplemente invirtiendo esta relación se obtiene:

$$\frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=\frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)}$$

¿Se puede interpretar $\frac{1}{1+\tau L(t_0,t_1,t_2)}$ como un bono de cupón cero de inicio anticipado entre $t_1$ y $t_2$ A partir de $t_0$ ?

Es decir:

$$\frac{Z(t_0,t_2)}{Z(t_0,t_1)}=Z(t_0,t_1,t_2)$$

Si lo anterior es cierto, supongamos que queremos valorar un Caplet "puesto en mora" (es decir, el pago descrito en mi última pregunta ).

Esta cápsula paga $(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}$ en el momento $t_1$ . Valorando este caplet en $t_0$ , eligiendo $Z(t_0,t_2)$ como Numeraire, tenemos:

$$C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_2)\mathbb{E}^{t_2}_{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right]$$

Usando la identidad:

$$Z(t_0,t_2)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2)$$

Lo entiendo:

$$C(t_0, T=t_1)=Z(t_0,t_1)Z(t_0,t_1,t_2)\mathbb{E}^{t_2}_{t_0}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{Z(t_1,t_2)}\right]=\\=Z(t_0,t_1)\mathbb{E}^{t_2}_{t_0}\left[(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}\right]$$

Y el problema en cuestión ahora parece trivial, ya que $L(t_1,t_1,t_2)$ es una martingala bajo $Z(t_0,t_2)$ .

Lo anterior no puede ser correcto, ya que la respuesta es diferente a la que obtuvo @Gordon en mi pregunta anterior enlazada. Entonces, ¿en qué me he equivocado?

Answer 1

$Z(t_0,t_1,t_2)$ es el $t_1$ -Precio a plazo del bono ZC con vencimiento $t_2$ A partir de $t_0$ . Tenemos: $$ Z(t_0,t_1,t_2) = E_{t_0}^{t_1}[Z(t_1,t_2)]\not= Z(t_1,t_2).$$

Con un índice no trivial estocástico, no hay manera de sacar $Z(t_1,t_2)^{-1}$ de debajo de su operador de expectativa condicional hasta que el $t_0$ golpes $t_1$ . No es $t_0$ -Medible.

Nota: Para aclarar el comentario de @Novice555, tenemos ( $L(t_1,t_2)=L(t_1,t_1,t_2)$ ):

$$ E^{t_1}_{0}[L(t_1,t_2)] \stackrel{(1)}{=} E^{t_2}_{0}\left[\frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{t_1} L(t_1,t_2) \right] $$

donde $$ \frac{dQ^{t_1}}{dQ^{t_2}}\big\vert_{s} = \frac{Z(s,t_1)/Z(0,t_1)}{Z(s,t_2)/Z(0,t_2)},$$

por lo que $$ E^{t_1}_{0}[L(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2)E^{t_2}_{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} L(t_1,t_2) \right]$$

$$ = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}_{0}\left[ L(t_1,t_2) \right] + Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}_{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$

$$ = Z(0,t_1,t_2) L(0,t_1,t_2) + Z(0,t_1,t_2) (t_2-t_1) E^{t_2}_{0}\left[ L(t_1,t_2)^2\right] $$

Tenga en cuenta que todo esto también se puede obtener de Respuesta de @Gordon en las cápsulas en las que la huelga $K$ se ajusta a $0$ .

También hay que tener en cuenta que para los bonos ZC, el mismo enfoque (sustituir $L$ por $Z$ en (1)) da:

$$ E^{t_1}_{0}[Z(t_1,t_2)] = Z(0,t_1,t_2) E^{t_2}_{0}\left[Z(t_1,t_2)^{-1} Z(t_1,t_2) \right] = Z(0,t_1,t_2) $$

Una forma de resumir este tema es:

• el precio a plazo de un bono ZC , $Z(\cdot, t_1,t_2)$ es un martingala bajo la $t_1$ -medida anticipada , mientras que
• el tipo de interés a plazo , $L(\cdot, t_1,t_2)$ es un martingala bajo la $t_2$ -medida anticipada .