¿Cómo valorar las opciones que dependen de dos activos en tiempo continuo?

Question

Dejemos que $S_1$ y $S_2$ sean dos activos de riesgo. El mercado también tiene un activo sin riesgo, y sólo un proceso de Wiener impulsor. Los parámetros son como en el Black SCholes, con $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2$ .

$dS_i = \mu_1S_idt + \sigma_i S_idW^P$

Deseo cotizar la opción en el momento $t$ que nos da $1$ si $S_1 > S_2$ en el momento $T$ Si no es así $0$ .

Mi método: calcular $S_1(T) - S_2(T)$ explícitamente. Entonces necesitamos el $Q$ -probabilidad de que ésta sea estrictamente positiva. Sin embargo, asumiendo que este es el método correcto, me quedo atascado al calcular esto $Q$ -probabilidad.

EDIT: Tengo una respuesta, pero depende de la distribución acumulativa de una distribución normal. ¿Se ve bien esto chicos?

Answer 1

Debe trabajar en el numerario de $S_1$ (si se trata de un negociable que no da dividendos). En este numerario $S_1$ no tiene deriva y $S_2/S_1$ es una martingala.

Debería obtener una opción digital sobre un proceso logarítmico normal, que en realidad tiene una fórmula de fijación de precios en términos de la distribución acumulativa de una distribución normal.