Una función de decisión social (FDS) a la manera de Sen (1970) se define como una regla de elección colectiva cuyo alcance se limita a las relaciones de preferencia social que generan una función de elección. Según Gaertner (2009), una relación de preferencia $R$ genera una función de elección sobre un conjunto $X$ si y sólo si $R$ es reflexivo, completo y acíclico sobre $X$ . Por lo tanto, me cuesta entender dónde está exactamente la diferencia entre una FDS y una función de elección social (FSE) a la Gibbard-Satterthwaite. Una FSS es en sí misma una función de elección, por lo que la relación de preferencia $R$ que lo genera debe satisfacer las mismas condiciones que el que genera un FDS.
Respuesta
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Dejemos que $X$ sea el conjunto de alternativas.
A función de decisión social mapea los perfiles de los ordenamientos de preferencia a las relaciones en $X$ tal que todo subconjunto no vacío de $X$ tiene al menos uno máximo bajo esta relación.
A función de elección social asigna perfiles de ordenación de preferencias a elementos de $X$ .
Ahora dejemos que $P$ sea un perfil de preferencias, $f$ una función de decisión social, y $g$ una función de elección social.
Puede haber más de una $f(P)$ -máximo en $X$ Así que $f$ En contraste con $g$ No siempre se puede elegir una sola opción en $X$ .
Por otro lado, supongamos que la alternativa $g(P)$ no está disponible por alguna razón (por ejemplo, el candidato ganador murió). Entonces $g$ no ayuda a encontrar una alternativa del conjunto restante de alternativas $X\setminus\{g(P)\}$ . Pero $f(P)$ nos permitirá clasificar las alternativas de este conjunto restante (siempre que $g(P)$ no es el único elemento de $X$ ), aunque, de nuevo, podría haber más que en $f(P)$ -máximo en este conjunto.
