Estamos en una selección adversa de seguros. Supongamos que los consumidores difieren en su propio riesgo $\pi_i$ distribuido en el intervalo $[\underline \pi, \bar\pi ]=[0, 0.5] $ . El CDF es el siguiente $F(\pi)= 2\pi^2 + \pi.$ donde $\pi$ es información privada y la pérdida (denominada L) es igual a $1$ para todos los consumidores. Considere las compañías de seguros neutrales al riesgo y competitivas que ofrecen un seguro completo a un precio $p$ . La función de utilidad de los consumidores es $U(w)=\sqrt{w}$ y la riqueza inicial $w_0 = 5$ son iguales para todos los consumidores.
El problema pide $h(p)$ . Con qué precio $p$ sólo el consumidor con $\pi_i = 0.5$ ¿comprará el seguro? Y luego para encontrar el precio de equilibrio $p^*.$
Ahora a encontrar $h(p)=\frac{u(w)-u(w-p)}{u(w)-u(w-L)}$ y $p^*=\frac{\int_{h(p^*)}^{\pi}\pi dF(\pi)}{1 F(h(p^)) }L$
Para la primera parte: $h(p)=\frac{u(w)-u(w-p)}{u(w)-u(w-L)}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5-p}}{\sqrt{5}-2}$ . El consumidor con $\pi_i=0.5$ comprará el seguro si $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5-p}}{\sqrt{5}-2}\leq 0.5$ (después de algunos cálculos) encontramos $p=0.5$ , único consumidor con $\pi_i=0.5$ compra.
Para la parte de equilibrio:
$p^*=\frac{\int_{h(p^*)}^{0.5}\pi dF(\pi)}{1 F(h(p^)) }=\frac{\frac{7}{9}-1/2(h(p^*))^4-1/3(h(p^*))^3}{1-2(h(p^*))^2-h(p^*)}$
Combinando ambos: $h(p^*)\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5-p^*}}{\sqrt{5}-2}$ y considerando $p^*=0.5$
$h(p^*)=0.5 \rightarrow$ $p^*=E[\pi_i|\pi_i\geq h(p^*)]$ se mantiene cuando $p^*=0.5$ por lo que se trata de un equilibrio. Sólo los que tienen $\pi_i=0.5$ compra
