Dejemos que $X_{T_1}$ sea una cantidad aleatoria conocida (fija) en $T_1$ (medible en relación con $T_1$ -información), $B$ sea la cuenta bancaria estándar y $P$ precio estándar de los bonos de cupón cero.
De los precios estándar, para el segundo contrato:
$$E_t\left[B_t B_{T_2}^{-1} \left(X_{T_1} - F_2\right) \right] =0 $$
implica
$$ F_2= E_t\left[B_t B_{T_2}^{-1} X_{T_1}\right] P(t,T_2)^{-1},$$ que puede escribirse también como (basándose en la propiedad de la torre de la expectativa condicional)
$$ F_2= E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} P(T_1,T_2)X_{T_1}\right] P(t,T_2)^{-1} $$
Para el primer contrato:
$$E_t\left[B_t^{-1}B_{T_1} \left(X_{T_1} - F_1\right) \right] =0 $$
implica
$$ F_1= E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} X_{T_1}\right] P(t,T_1)^{-1}.$$
Si $X_{T_1}=L(T_1,T_2)$ la expectativa en $F_2$ simplifica aún más la fórmula
$$ E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} P(T_1,T_2)\tau^{-1}(P(T_1,T_2)^{-1}-1)\right] $$
$$=\tau^{-1}E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} (1-P(T_1,T_2))\right] = \tau^{-1} (P(t,T_1) - P(t,T_2)),$$
(desinflado $T_2$ -de vencimiento es una martingala), lo que lleva a $$ F_2 = \tau^{-1} (P(t,T_1) - P(t,T_2))P(t,T_2)^{-1}. $$
También podemos intentar comprender mejor la expectativa en $F_1$ fórmula:
$$ E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} \tau^{-1}(P(T_1,T_2)^{-1}-1) \right] $$
$$ = \tau^{-1}E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} P(T_1,T_2)^{-1} \right] - \tau^{-1} P(t,T_1). $$
Por desgracia, la expectativa en el primer término necesita un modelo (dinámica del precio de los bonos o del tipo Libor).
Tenga en cuenta que podemos cambiar a $T_2$ -medida anticipada
$$ E_t\left[B_t B_{T_1}^{-1} P(T_1,T_2)^{-1} \right] = E_t\left[B_t B_{T_2}^{-1} P(T_1,T_2)^{-2} \right]$$ $$ = P(t,T_2) E_t^{T_2}\left[ P(T_1,T_2)^{-2} \right] $$ $$ = P(t,T_2) E_t^{T_2}\left[ (1+\tau L(T_1,T_2))^{2} \right] $$
y se puede utilizar una dinámica sin deriva (digamos lognormal, sólo se necesita especificar la volatilidad) para $L(\cdot, T_1, T_2)$ (ya que es una martingala bajo $T_2$ -medida de avance).
