Una pregunta sobre la propiedad de la preferencia cuasi-lineal

Question

En el caso de una preferencia casi lineal, ¿por qué una unidad más del bien numérico (bien 1) daría la misma utilidad adicional que gastar una cantidad adicional de riqueza igual al coste de una unidad del bien 1 en todos los demás bienes, independientemente de la cantidad de unidades de este bien 1 que ya estén presentes en el paquete de consumo? ¿Cómo se podría demostrar? (La interpretación también sería bienvenida).

Parece que tiene que ver con el hecho de que la maximización de la utilidad implica una utilidad marginal idéntica por unidad de moneda gastada en cada bien.

Answer 1

Esto parece una pregunta de deberes, así que sólo daré pistas.

Por definición una utilidad cuasilineal tiene la forma $u(x, y) = x + v(y)$ donde $y$ es un vector de todos los demás bienes y $v(\cdot)$ es estrictamente cóncavo. En este caso, $x$ se llama numeraire .

• Desde la maximización de la utilidad, ¿cuál es la condición de primer orden que relaciona $MU_x$ , $MU_y$ , $p_x$ y $p_y$ ? Escribe la ecuación.
• ¿Cuál es la ganancia de utilidad de consumir una unidad más de $x$ ?

A partir de ahí deberíais poder solucionar las cosas.

Editar

$MU_x$ será constante... más precisamente, $MU_x$ es siempre uno (por definición).

A continuación, puede conectar esto en FOC y obtener que $MU_y = 1/z$ . donde $z = p_x/p_y$ es simplemente cuántos $y$ 's que podrías comprar con "una cantidad adicional de riqueza igual al coste de una unidad del bien 1 en todos los demás bienes".

Dado que una unidad más de bien $y$ le conseguirá $1/z$ , necesita (aproximadamente) $z$ más de lo bueno $y$ para obtener una unidad más de aumento de utilidad (que es lo mismo que se obtiene cuando se aumenta $x$ por una unidad).