Determinación del coste a partir de la función de producción, el salario y la tasa de alquiler

Question

Así que tengo una función de producción $Q=2K + 20L^{1/2}$ y supongo que el salario es $w=5$ y la tasa de alquiler es $r=9$ . Quiero encontrar el coste de producción a largo plazo, que sé que está limitado por $\frac{MP_{L}}{MP_{K}}=w/r$ y por lo tanto

$$\frac{10L^{-1/2}}{2} = 5/9$$

Lo que implica $L=81$ . Sin embargo, no veo cómo encontrar mi cantidad de capital, $K$ . Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Lo complicado es que el problema tiene una vuelta de tuerca. Por debajo de un determinado valor de producción no se utiliza el capital. Las funciones de demanda de $k$ y $l$ son los siguientes:

Si $Q \leq 180$ $$L(Q) = (Q/20)^2$$ $$K(Q) = 0$$

Si $Q > 180$ $$L(Q) = 81$$ $$K(Q) = (Q - 180) / 2$$

Lo que se puede obtener al pensar en lo que ocurre con el coste marginal de producir con mano de obra justo por debajo y por encima de $L=81$ (va de menos de 4,5 a más de 4,5) y comparándolo con el coste de producir una unidad marginal con capital (que siempre es de 4,5).

¿Por qué la división en $Q = 180 / L = 81 $ ? $$\frac{MP_{L}}{MP_{K}}=w/r \leftrightarrow \frac{10L^{-1/2}}{2} = 5/9 \rightarrow L = 81$$ Tenga en cuenta que $ Q(k=0,L=81) = 180$

Answer 2

A) Si nos preocupamos por no tener pérdidas,

se puede observar que

a) $Q(K=0, L>0) >0$ (es decir, podemos obtener una producción positiva sin capital)

y

b) La salida es lineal en $K$ y $MP_K = 2$ , mientras que $r=9$ . Así, por cada unidad de capital que empleemos, obtendremos $2$ unidades adicionales de producción, pero tendremos que pagar $9$ unidades de producción como recompensa del capital: emplear capital significa subvencionarlo aquí, dado su precio. Así que no deberíamos emplear capital en absoluto, ya que a la luz de a), podemos tener una producción positiva sin él.

Por otro lado, si, por ejemplo, $L=1$ entonces $Q = 20$ mientras que $wL = 5$ . Así que hay espacio para que la producción se lleve a cabo utilizando sólo la mano de obra, sin subvencionar el factor de producción.

Así que tenemos $K^* = 0$ . Pero entonces,

$$C^* = wL^*,\;\; L^* = \frac {\bar Q^2}{400}$$

La función de coste tiene ahora un mínimo no interesante en cero, y luego aumenta monótonamente.

Para no tener pérdidas, necesitamos

$$ \bar Q - C^* \geq 0 \implies \bar Q - w\frac {\bar Q^2}{400} \geq 0 \implies \left(1-w\frac {\bar Q^*}{400}\right) \geq 0 $$

$$ \bar Q \leq \frac {400}{w}$$

Así que, si nos preocupamos por no tener pérdidas a) no empleamos capital y b) el nivel de producción no debe superar, por $w=5$ , $Q \leq 80$ .

B) Si no nos importa tener pérdidas (digamos que se trata de un servicio público que tiene que suministrar un nivel específico de producción independientemente de que cueste más que los ingresos obtenidos por la venta de la producción)

Veamos a dónde nos lleva el enfoque estándar.

$$\min_{K,L} C = rK + wL \;\;\;s.t.\;\; g(K,L) = 2K + 20L^{1/2} = \bar Q$$

para cualquier nivel de producción.

El Lagrangean es

$$ \Lambda = rK + wL + \lambda[\bar Q-2K - 20L^{1/2}]$$

y si calculamos las condiciones de primer orden para un mínimo obtenemos

$$\partial \Lambda/\partial K = 0 \implies r - 2\lambda =0 \implies \lambda = r/2 \tag{1}$$

$$\partial \Lambda/\partial L = 0 \implies w - \lambda\cdot 10L^{-1/2} = 0 \tag {2}$$

que para $r=9, w=5$ conduce a un candidato solución $\{K^*,L^*=81,\lambda^* = 4.5\}$

Para determinar lo que ocurre en la solución candidata tenemos que considerar también las condiciones de segundo orden para un mínimo

$$\partial^2 \Lambda/\partial L^2 = 5\lambda L^{-3/2} $$

$$\partial^2 \Lambda/\partial K^2 = \partial^2 \Lambda/\partial L\partial K =0$$

Entonces la matriz hessiana bordeada (=matriz de segundas derivadas del Lagrangean bordeadas por las primeras derivadas de la restricción, y un cero en la posición superior izquierda) es

$$\bar H = \left [ \begin{matrix} 0 & 2 & 10L^{-1/2} \\ 2 & 0 & 0 \\ 10L^{-1/2} & 0 & 5\lambda L^{-3/2} \\ \end{matrix} \right]$$

Para que la solución candidata sea un mínimo, necesitamos que los menores principales bordeados (determinantes menores) sean todos estrictamente negativo excepto el primero, que por construcción es cero), al menos evaluado en la solución candidata. Tenemos

$$|\bar H_2| = \left | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right| = -4 <0$$

y

$$|\bar H_3| = \left | \begin{matrix} 0 & 2 & 10L^{-1/2} \\ 2 & 0 & 0 \\ 10L^{-1/2} & 0 & 5\lambda L^{-3/2} \\ \end{matrix} \right| = 0 - 2\cdot10\lambda\cdot L^{-3/2} + 0 <0 $$

para $\lambda , L$ estrictamente positivo. Así que estamos bien... excepto que no sabemos el valor de $K^*$ . ¿Somos libres de elegir cualquier nivel de capital que queramos?

Desde luego que no. Recuerda que el multiplicador $\lambda ^*$ es óptimo Coste marginal (en función de la producción). Pero aquí, suponiendo que se emplee un capital distinto de cero , El coste marginal óptimo no depende del nivel de producción, se fija en $\lambda ^* =4.5$ debido a la apariencia lineal de $K$ en la función de producción, y el supuesto comportamiento de toma de precios de la organización.

En otras palabras: si empleamos el capital, deberíamos tener un $MC(Q) = 4.5$ . Esto significa que mientras podamos llevar a cabo la producción con un coste marginal inferior a éste, no debemos emplear el capital. Pero si hay un nivel de producción realizado únicamente por el trabajo, en el que seguir produciendo utilizando sólo el trabajo daría lugar a un coste marginal superior a $4.5$ entonces, resulta óptimo empezar a emplear capital (óptimo estrictamente en el sentido de minimización de costes).

En el caso de la producción exclusivamente con mano de obra, tenemos

$$C = \frac {w\bar Q^2}{400} \implies MC = \frac {\bar Q}{40}$$

Así que para $MC \leq 4.5 \implies \bar Q \leq 180$ Después de $\bar Q =180$ Si empleamos más mano de obra para aumentar la producción, nuestro coste marginal será mayor que si empezamos a emplear capital. Y esto continuará, porque el producto marginal del trabajo irá disminuyendo, mientras que el producto marginal del capital es constante. Así que concluimos que hasta $\bar Q =180$ deberíamos llevar a cabo la producción utilizando sólo mano de obra, y después, deberíamos dejar de emplear cualquier mano de obra adicional, y cubrir todas las necesidades de recursos empleando capital, cuyo nivel se determinará evidentemente como se indica en la respuesta de @BKay.

El tratamiento matemático completo requeriría convertir esto en un marco de Karush-Kuhn-Tucker, e incluir multiplicadores para el caso de que las variables de decisión tomen el valor cero.