OLS, Teorema de Frisch-Waugh-Lovell y pocas observaciones

Question

Hace unos días hablaba con un colega y me surgió la siguiente pregunta:

¿Por qué no podemos utilizar simplemente las matrices de proyección y el Teorema FWL para "ganar" algunos grados de libertad en caso de muy pocas observaciones?

Imagina un caso en el que quieres estimar

$$y_t = \beta_0 + z\beta_1 + x_2\beta_2 + x_3\beta_3 + u_t$$

pero, por desgracia, sólo tienes 5 observaciones (ejemplo extremo). Por suerte, sólo le interesa $\beta_1$ . Ahora sólo hay que crear unas matrices de proyección de la forma

$$M_x = I - x'(x'x)^{-1}x'$$

y proyectar su "no deseado" $x_2$ y $x_3$ (siguiendo a Davidson y MacKinnon). Quedaría la regresión

$$M_x y = M_x z \beta_1 + residuals$$

donde $\beta_1$ es numéricamente la misma que en la regresión anterior. Pero ahora se puede estimar un solo parámetro (beta) con 5 observaciones en comparación con los tres parámetros anteriores. Así que, obviamente, las estimaciones mejoran, ¿no?

¿Dónde está nuestro error?

Answer 1

Sabemos que $M_X\mathbf{u}= \mathbf{\hat u}$ , donde $\mathbf{y}=\mathbf{x\beta}+\mathbf{u}$ . Por tanto, aunque los términos de error sean independientes, los residuos no serán independientes de los demás residuos. Esto hace que no sea válida la hipótesis habitual de ausencia de autocorrelación.

Por supuesto, si utilizamos un estimador HAC podemos eludir la existencia de autocorrelación. Sin embargo, los estimadores HAC que conozco sólo tienen un comportamiento asintótico. Por lo tanto, no sería útil para un tamaño de muestra pequeño.