Matemáticas de los efectos de la renta y la sustitución

Question

Recientemente he aprendido el concepto de utilidad y la curva de indiferencia. Tengo algunos problemas para entender los efectos sobre el consumo de dos bienes $X$ y $Y$ de un cambio en el precio de $X$ . Entiendo lo que significa generalmente el efecto de sustitución. Se refiere a una sustitución del bien $Y$ por el bien $X$ que ahora se ha encarecido. Gráficamente, se representa por un desplazamiento a lo largo de la curva de indiferencia desde el punto $e$ para señalar $e^{'}$ .

El escenario que se presenta en el diagrama es el siguiente: Ingresos $M$ = $ {$ 100}$ mientras que los precios originales están en $p_x$ = $ {$ 10}$ y $p_y$ = $ {$ 10}$ Las tres líneas descendentes que se ven en el diagrama son las llamadas "restricciones presupuestarias". La línea de restricción presupuestaria original que es tangente al punto $e$ tiene la ecuación $Y = \frac{M}{p_y} - (\frac{p_x}{p_y})X$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo se derivan las otras dos líneas de restricción presupuestaria. El efecto aquí es una duplicación del precio de $X$ de $ {$ 10}$ a $ {$ 20}$ . Por lo tanto, creo que el efecto directo es que el gradiente de la línea de restricción presupuestaria cambia de $-1$ a $-2$ pero eso no es lo que se observa directamente. De hecho, también hay un cambio en el intercepto vertical de la línea de restricción presupuestaria.

Puede alguien ayudarme a explicar por qué el efecto de sustitución lleva al consumo al punto $e^{'}$ y por qué el efecto de la renta conduce al consumo en el punto $e^{*}$ ?

El ejemplo está tomado del libro Economics with Calculus de Michael C. Lovell (capítulo 4, p. 152).

Answer 1

El efecto de sustitución (Hicks) es, por definición, el cambio en el consumo de X inducido por un cambio de los precios relativos, manteniendo fija la utilidad. Así, la línea presupuestaria original se "enrolla" a lo largo de su curva de indiferencia hasta que tiene la misma pendiente (mismos precios relativos) que la restricción presupuestaria real después del cambio de precios. Esto determina $e'$ . Se puede pensar en la tangente a $e'$ como una hipotética restricción presupuestaria que compensa la pérdida de utilidad resultante del aumento del precio de $X$ añadiendo ingresos hasta que sólo pueda permitirse un paquete con la misma utilidad que el paquete original $e$ . En total, el cambio de $e$ a $e^*$ se separa en un cambio de $e$ a $e'$ (haciendo rodar la línea presupuestaria a lo largo de la curva de indiferencia: cambio de precio relativo, manteniendo la utilidad constante = efecto de sustitución) y un cambio de $e'$ a $e^*$ (desplazamiento paralelo de la línea presupuestaria: variación de la renta, manteniendo constantes los precios relativos = efecto renta).