Para ser dolorosamente claro, sólo parece tener sentido considerar el logaritmo de los rendimientos, es decir $X=\log (1+\frac r{100})$ para una simple devolución de $r\%$ en un periodo arbitrario porque esto es lo que suma cuando se agregan temporalmente los rendimientos. Una propiedad básica de cumulantes es que los cumulantes de todos los órdenes son aditivos bajo convolución, para lo cual una prueba se puede encontrar aquí .
Así que si $X_1$ , $X_2$ , ... $X_n$ son i.i.d. entonces todos los cumulantes de $$Y_n = \sum_{i=1}^nX_i$$ escalan linealmente con $n$ es decir $$\kappa_k(Y_n)=n\kappa_k(Y_1).$$ Sin embargo, sospecho que está normalizando esta suma para que la varianza (o volatilidad) se mantenga constante con el aumento de $n$ . Por lo tanto, consideremos $$Z_n=\frac{Y_n}{\sqrt n}= \frac 1 {\sqrt n} \sum_{i=1}^nX_i.$$ Otra propiedad básica de los cumulantes es que el $k$ es homogénea de orden $k$ en cuanto a la escala. Utilizando ambas propiedades conjuntamente tenemos $$\kappa_k(Z_n)=\left(\frac 1 {\sqrt n}\right)^k\kappa_k(Y_n)=\left(\frac 1 {\sqrt n}\right)^kn\kappa_k(Y_1)=\frac {\kappa_k(Z_1)}{n^{(k-2)/2}}.$$
(No olvide que $Z_1=Y_1=X_1$ .) Ahora podemos demostrar que las estadísticas se escalan como se ha descrito: $$\textrm{variance}=\kappa_2(Z_n)=\kappa_2(Z_1)\propto 1;$$ $$\textrm{skewness} =\frac{\kappa_3(Z_n)}{\kappa_2(Z_n)^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n^{1/2}}\kappa_3(Z_1)}{\kappa_2(Z_1)^{3/2}}\propto \frac 1{\sqrt n};$$ $$\textrm{ex. kurtosis}=\frac{\kappa_4(Z_n)}{\kappa_2(Z_n)^2}=\frac{\frac{1}{n}\kappa_4(Z_1)}{\kappa_2(Z_1)^{2}}\propto \frac 1 n.$$
No hay ninguna razón por la que esto no pueda extenderse a órdenes superiores, aunque funciona más directamente en términos de cumulantes que de momentos.
