Ecuación de Bellman con dos factores de descuento

Question

Para el siguiente problema de planificación social

$$ \max \mathbb{E_{0}}\sum_{s=0}^{\infty}\beta_{1}^{s}(\alpha U(C_{s}^{1}))+\beta_{2}^{s}((1-\alpha)U(C_{s}^{2})) $$ $$ s.t.\ \text{some constraints including C, K, N, etc.} $$

Hay dos hogares diferentes con distintos factores de descuento, $\alpha$ y $1-\alpha$ se asignan pesos para los tipos de HH 1 y 2, respectivamente. ¿Es la siguiente ecuación de Bellman una formulación correcta para resolver el problema del planificador? $$ V(K) \equiv \max\ \alpha U(C^{1})+(1-\alpha) U\left(C^{2}\right)+\beta_{1} \alpha \mathbb{E} V\left(K^{\prime}\right)+\beta_{2}(1-\alpha) \mathbb{E} V\left(K^{\prime}\right) $$

Answer 1

No. Considere el siguiente problema: Cada período, una unidad total de consumo cae del cielo que puede ser distribuida entre los dos agentes de cualquier manera. Su utilidad por período es simplemente cuánto consumen. Dejamos que $\alpha=1/2$ . Supongamos que $\beta_1>\beta_2$ el primer agente es más paciente. Todas las asignaciones óptimas tienen una forma muy sencilla: La unidad de consumo se distribuye arbitrariamente en el primer periodo, en todos los periodos siguientes, el agente 1 se lleva todo. Esto implica que la función de valor para las continuaciones es completamente independiente de $\beta_2$ que claramente no lo es en la forma que usted sugiere.